Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz,\) cho hai mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} +
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz,\) cho hai mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 25\) và \(\left( {S'} \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 1\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) tiếp xúc \(\left( {S'} \right)\) và cắt \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn có chu vi bằng \(6\pi .\) Khoảng cách từ \(O\) đến \(\left( P \right)\) bằng
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {0;0;1} \right)\), bán kính \(R = 5\), mặt cầu \(\left( {S'} \right)\) có tâm \(I'\left( {1;2;3} \right)\), bán kính \(R' = 1\)
Vì \(I'I = 3 < R - R' = 4\) nên mặt cầu \(\left( {S'} \right)\) nằm trong mặt cầu \(\left( S \right)\).
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) tiếp xúc \(\left( {S'} \right)\)\( \Rightarrow d\left( {I';\left( P \right)} \right) = R' = 1\).
\(\left( P \right)\) cắt \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn có chu vi bằng \(6\pi \) (suy ra bán kính đường tròn là \(r = 3\)) nên \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \sqrt {{R^2} - {r^2}} = 4\)
Nhận thấy: \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) - d\left( {I',\left( P \right)} \right) = I'I\) nên tiếp điểm \(H\) của \(\left( P \right)\) và \(\left( {S'} \right)\) là tâm đường tròn giao tuyến của \(\left( P \right)\) và \(\left( S \right)\).
Khi đó \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua \(H\), nhận \(\overrightarrow {II'} = \left( {1;2;2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.
Ta có: \(\overrightarrow {IH} = \dfrac{4}{3}\overrightarrow {II'} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_H} = \dfrac{4}{3}\\{y_H} = \dfrac{8}{3}\\{z_H} = \dfrac{{11}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {\dfrac{4}{3};\dfrac{8}{3};\dfrac{{11}}{3}} \right)\)
Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right):x - \dfrac{4}{3} + 2\left( {y - \dfrac{8}{3}} \right) + 2\left( {z - \dfrac{{11}}{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 2y + 2z - 14 = 0\)
Khoảng cách từ \(O\) đến \(\left( P \right)\) là: \(d\left( {O,\left( P \right)} \right) = \dfrac{{14}}{3}\)
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
