Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz,\) cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x + 1}

Câu hỏi số 561951:

Vận dụng cao

Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz,\) cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9\) và điểm \(A\left( {2;3; - 1} \right)\). Xét các điểm \(M\) thuộc \(\left( S \right)\) sao cho đường thẳng \(AM\) tiếp xúc với \(\left( S \right)\). Hỏi điểm \(M\) luôn thuộc mặt phẳng nào có phương trình dưới đây?

A. \(3x + 4y + 2 = 0\)

B. \(3x + 4y - 2 = 0\)

C. \(6x + 8y - 11 = 0\)

D. \(6x + 8y + 11 = 0\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:561951

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( { - 1; - 1; - 1} \right)\) và bán kính \(R = 3\)

Do \(AM\) là tiếp tuyến của mặt cầu \(\left( S \right)\) nên \(IM \bot AM\) suy ra \(AM = \sqrt {A{I^2} - I{M^2}} \)

Ta có: \(AI = 5;\,IM = R = 3\). Suy ra \(AM = \sqrt {A{I^2} - I{M^2}} = 4\)

Tập hợp các tiếp điểm \(M\) tạo thành đường tròn có tâm là \(H\). Khi đó ta có \(\Delta AHM\) đồgn dạng với \(\Delta AMI\)

Suy ra \(\dfrac{{AH}}{{AM}} = \dfrac{{AM}}{{AI}} \Rightarrow AH = \dfrac{{A{M^2}}}{{AI}} = \dfrac{{16}}{5}\)

Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng chứa các tiếp điểm \(M\). Khi đó \(\left( \alpha \right)\) có vectơ pháp tuyến là:

\(\overrightarrow n = \overrightarrow {AI} = \left( { - 3; - 4;0} \right)\) nên phương trình \(\left( \alpha \right)\) có dạng: \( - 3x - 4y - d = 0 \Leftrightarrow 3x + 4y + d = 0\)

Do \(d\left( {A,\left( \alpha \right)} \right) = AH \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {18 + d} \right|}}{5} = \dfrac{{16}}{5} \Leftrightarrow \left| {18 + d} \right| = 16 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}d = - 2\\d = - 34\end{array} \right.\)

Vậy \(\left( {{\alpha _1}} \right):3x + 4y - 2 = 0\); \(\left( {{\alpha _2}} \right):3x + 4y - 34 = 0\)

Do \(d\left( {I,\left( {{\alpha _1}} \right)} \right) = \dfrac{9}{5} < 3\) nên \(\left( {{\alpha _1}} \right)\) không cắt \(\left( S \right)\) (nhận)

Và \(d\left( {I,\left( {{\alpha _2}} \right)} \right) = \dfrac{{41}}{5} > 3\) nên \(\left( {{\alpha _2}} \right)\) cắt \(\left( S \right)\) (loại)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.