Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz,\) cho mặt cầu \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 9\) và
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz,\) cho mặt cầu \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 9\) và điểm \(M\left( {{x_o};{y_o};{z_o}} \right) \in d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 1 + 2t\\z = 2 - 3t\end{array} \right.\). Ba điểm \(A,B,C\) phân biệ ctùng thuộc mặt cầu sao cho \(MA,MB,MC\) là tiếp tuyến của mặt cầu. Biết rằng mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) đi qua điểm \(D\left( {1;1;2} \right)\). Tổng \(T = x_o^2 + y_o^2 + z_o^2\) bằng
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Ta có: \(M\left( {{x_o};{y_o};{z_o}} \right) \in d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 1 + 2t\\z = 2 - 3t\end{array} \right. \Rightarrow {x_o} + {y_o} + {z_o} = 4\)
Mặt cầu có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 9\) suy ra tâm \(O\left( {0;0;0} \right),\) bán kính \(R = 3\)
\(MA,MB,MC\) là tiếp tuyến của mặt cầu \( \Rightarrow MO \bot \left( {ABC} \right)\)
\( \Rightarrow \left( {ABC} \right)\) đi qua \(D\left( {1;1;2} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {OM} \left( {{x_o};{y_o};{z_o}} \right)\) có phương trình dạng:
\({x_o}\left( {x - 1} \right) + {y_o}\left( {y - 1} \right) + {z_o}\left( {z - 2} \right) = 0\)
\(MA\) là tiếp tuyến của mặt cầu tại \(A \Rightarrow \Delta MOA\) vuông tại \(A \Rightarrow OH.OM = O{A^2} = {R^2} = 9\)
Gọi \(H\) là hình chiếu của \(O\) lên \(\left( {ABC} \right)\) (\(OH + OM = HM\)), ta có:
\(d\left( {O,\left( {ABC} \right)} \right) = OH = \dfrac{{\left| { - {x_o} - {y_o} - 2{z_o}} \right|}}{{\sqrt {x_o^2 + y_o^2 + z_o^2} }} = \dfrac{{\left| {{x_o} + {y_o} + {z_o}} \right|}}{{\sqrt {x_o^2 + y_o^2 + z_o^2} }} = \dfrac{{\left| {{z_o} + 4} \right|}}{{OM}} \Rightarrow OH.OM = \left| {{z_o} + 4} \right|\)
\( \Rightarrow \left| {{z_o} + 4} \right| = 9 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_o} = 5\\{z_o} = - 13\end{array} \right.\)
Với \({z_o} = 5 \Rightarrow M\left( {0; - 1;5} \right) \Rightarrow T = 26\) nhận do: \(OM = \sqrt {26} ;OH = \dfrac{{\left| {{z_o} + 4} \right|}}{{OM}} = \dfrac{9}{{\sqrt {26} }}\)
Phương trình \(\left( {ABC} \right): - y + 5z - 9 = 0 \Rightarrow MH = d\left( {M,\left( {ABC} \right)} \right) = \dfrac{{17}}{{\sqrt {26} }}\)
\( \Rightarrow OH + HM = OM\)
Với \({z_o} = - 13 \Rightarrow M\left( {6;11; - 13} \right)\) loại do \(OM = \sqrt {326} ;OH = \dfrac{9}{{\sqrt {326} }}\)
Phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right):6x + 11y - 13z + 9 = 0 \Rightarrow MH = d\left( {M;\left( {ABC} \right)} \right) = \dfrac{{335}}{{\sqrt {326} }}\)
\( \Rightarrow OH + HM \ne OM\)
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
