Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên’\(n\) thì:a) \({29^n} + {19^n} - {5^n} - 1 \vdots 21\)b) \({20^n} +

Câu hỏi số 562005:

Thông hiểu

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên’\(n\) thì:

a) \({29^n} + {19^n} - {5^n} - 1 \vdots 21\)

b) \({20^n} + {16^n} - {3^n} - 1 \vdots 323\) (\(n\) chẵn)

c) \(A = \left( {{{1924}^{{{2003}^{{{2004}^n}}}}} + 1920} \right) \vdots 124\left( {\forall n \in \mathbb{N}} \right)\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:562005

Phương pháp giải

+ Khi \(a \equiv b\left( {\bmod \;m} \right)\) thì \(\left( {a - b} \right) \equiv 0\left( {\bmod \;m} \right)\). \(\left( {a - b} \right) \vdots m \Rightarrow \left( {a - b} \right):m\) dư \(0\);

Mà \(0:m\) dư \(0 \Rightarrow \left( {a - b} \right) \equiv 0\left( {\bmod \;m} \right)\).

+ Tính chất cộng trừ từng vế: \(\left\{ \begin{array}{l}a \equiv b\left( {\bmod \;m} \right)\\c \equiv d\left( {\bmod \;m} \right)\end{array} \right. \Rightarrow a \pm c \equiv b \pm d\left( {\bmod \;m} \right)\)

Giải chi tiết

a) Vì \(21 = 7.3\) và \(3;7\) là hai số nguyên tố cùng nhau

\( \Rightarrow \) Ta cần chứng minh \({29^n} + {19^n} - {5^n} - 1\) chia hết cho \(3\) và \(7\)

+ Chứng minh chia hết cho \(3\):

\(29 \equiv 5\left( {\bmod \;3} \right) \Rightarrow {29^n} \equiv {5^n}\left( {\bmod \;3} \right) \Rightarrow {29^n} - {5^n} \vdots 3\)

\(19 \equiv 1\left( {\bmod \;3} \right) \Rightarrow {19^n} \equiv {1^n} \equiv 1\left( {\bmod \;3} \right) \Rightarrow {19^n} - 1 \vdots 3\)

\( \Rightarrow {29^n} + {19^n} - {5^n} - 1 \vdots 3\)

+ Chứng minh chia hết cho \(7\):

\(29 \equiv 1\left( {\bmod \;7} \right) \Rightarrow {29^n} \equiv 1\left( {\bmod \;7} \right) \Rightarrow {29^n} - 1 \vdots 7\)

\(19 \equiv 5\left( {\bmod \;7} \right) \Rightarrow {19^n} \equiv {5^n}\left( {\bmod 7} \right) \Rightarrow {19^n} - {5^n} \vdots 7\)

\( \Rightarrow {29^n} + {19^n} - {5^n} - 1 \vdots 7\)

Vậy \({29^n} + {19^n} - {5^n} - 1 \vdots 21\)

b) Ta có: \(323 = 17.19\) và \(17;19\) là hai số nguyên tố cùng nhau nrrn ta cần chứng minh \({20^n} + {16^n} - {3^n} - 1\) chia hết cho \(17\) và \(19\).

+ Chứng minh chia hết cho \(17\):

\(20 \equiv 3\left( {\bmod \;17} \right) \Rightarrow {20^n} \equiv {3^n}\left( {\bmod \;17} \right) \Rightarrow {20^{}} - {3^n} \vdots 17\)

\(16 \equiv - 1\left( {\bmod \;17} \right) \Rightarrow {16^n} \equiv {\left( { - 1} \right)^n} \equiv 1\left( {\bmod \;17} \right)\) (vì \(n\) chẵn) \( \Rightarrow {16^n} - 1 \vdots 7\)

\( \Rightarrow {20^n} + {16^n} - {3^n} - 1 \vdots 17\)

+ Chứng minh chia hết cho \(19\):

\(20 \equiv 1\left( {\bmod \;19} \right) \Rightarrow {20^n} \equiv {1^n} \equiv 1\left( {\bmod \;19} \right) \Rightarrow {20^n} - 1 \vdots 19\)

\(16 \equiv - 3\left( {\bmod \;19} \right) \Rightarrow {16^n} \equiv {\left( { - 3} \right)^n} \equiv {3^n}\left( {\bmod \;19} \right)\) (Vì \(n\) chẵn) \( \Rightarrow {16^n} - {3^n} \vdots 19\)

\( \Rightarrow {20^n} + {16^n} - {3^n} - 1 \vdots 19\)

Vậy \({20^n} + {16^n} - {3^n} - 1 \vdots 323\) (\(n\) chẵn)

c) Ta có: \(124 = 4.31 \Rightarrow A \equiv 0\left( {\bmod \;4} \right)\)

Để chứng minh \(A \vdots 124\) ta cần chứng minh \(A \vdots 31\)

+ \(\left\{ \begin{array}{l}1924 \equiv 2\left( {\bmod \;31} \right)\\1920 \equiv - 2\left( {\bmod \;31} \right)\end{array} \right. \Rightarrow A \equiv {2^{{{2003}^{{{2004}^n}}}}} - 2\left( {\bmod \;31} \right)\left( * \right)\)

+ \({2^5} = 32 \equiv 1\left( {\bmod \;31} \right)\)

+ \({2004^n} \equiv 0\left( {\bmod \;4} \right) \Rightarrow {2004^n} = 4k \Rightarrow {2003^{{{2004}^n}}} = {2003^{4k}}\)

\(\begin{array}{l}2003 \equiv 3\left( {\bmod \;5} \right) \Rightarrow {2003^{4k}} \equiv {3^{4k}} \equiv {81^k} \equiv 1\left( {\bmod \;5} \right)\\ \Rightarrow {2003^{{{2004}^n}}} \equiv 1\left( {\bmod \;5} \right) \Rightarrow {2003^{{{2004}^n}}} = 5m + 1\\ \Rightarrow {2^{{{2003}^{{{2004}^n}}}}} = {2^{5m + 1}} = 2.{\left( {{2^5}} \right)^m} \equiv 2\left( {\bmod \;31} \right)\end{array}\)

Thay vào \(\left( * \right)\) ta có: \(A \equiv 0\left( {\bmod \;31} \right) \Rightarrow A \vdots 31\) (đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link