Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại A, AB = a, AC = 2a, \(\left( {SBC} \right) \bot \left(

Câu hỏi số 562064:

Vận dụng

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại A, AB = a, AC = 2a, \(\left( {SBC} \right) \bot \left( {ABC} \right)\) và tam giác SBC có 3 góc nhọn. Biết rằng hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng tạo với mặt đáy một góc \({60^0}\). Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:562064

Phương pháp giải

- Kẻ \(SH \bot BC\), chứng minh \(SH \bot \left( {ABC} \right)\) .

- Kẻ \(HK,\,\,HE\) lần lượt vuông góc với AB, AC. Chứng minh \(\angle SKH = \angle SEH = {60^0}\) .

- Chứng minh HK = HE.

- Chứng minh AH là phân giác góc A. Sử dụng tính chất đường phân giác: \(\dfrac{{HB}}{{HC}} = \dfrac{{AB}}{{AC}}\) .

- Sử dụng định lí Ta-lét tính HK.

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính SH.

- Tính thể tích \(V = \dfrac{1}{3}SH.{S_{\Delta ABC}}\).

Giải chi tiết

Kẻ \(SH \bot BC\) tại H.

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \bot \left( {ABC} \right) = BC\\SH \subset \left( {SBC} \right),\,\,SH \bot BC\end{array} \right.\) \( \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\).

Kẻ \(HK \bot AB\) tại K, \(HE \bot AC\) tại E.

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot HK\\AB \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SHK} \right) \Rightarrow AB \bot SK\).

Chứng minh tương tự ta có: \(AC \bot SE\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AB\\HK \subset \left( {ABC} \right),\,\,HK \bot AB\\SK \subset \left( {SAB} \right),\,\,HK \bot AB\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left( {\left( {SAB} \right),\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SK,HK} \right) = \angle SKH = {60^0}\) .

Chứng minh tương tự ta có \(\angle SEH = {60^0}\).

Khi đó ta có \(\Delta SHK = \Delta SHE\) \( \Rightarrow HE = HK\).

Suy ra AKHE là hình vuông nên AH là phân giác của góc A.

Ta có: \(\dfrac{{HB}}{{HC}} = \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{1}{2}\) .

Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\dfrac{{HK}}{{AC}} = \dfrac{{BH}}{{BC}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow HK = \dfrac{{2a}}{3} = HE\).

Xét tam giác vuông SHK có: \(SH = HK.\tan {60^0} = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}\).

Vậy \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}.\dfrac{1}{2}.a.2a = \dfrac{{2{a^3}\sqrt 3 }}{9}\).

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.