Cho nửa đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) đường kính \(AB\). Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ

Câu hỏi số 562180:

Vận dụng

Cho nửa đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) đường kính \(AB\). Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ \(AB\) kẻ các tiếp tuyến \(Ax\) và \(By\) của \(\left( O \right)\). \(C\) là điểm bất kì thuộc nửa đường tròn \((C\) khác \(A\) và \(B)\). Tiếp tuyến của nửa đường tròn tại \(C\) cắt \(Ax,By\) lần lượt tại \(D\) và \(E\).

a) Chứng minh tam giác \(DOE\) vuông tại \(O\) và \(DE = AD + BE\)

b) Gọi giao điểm của \(OD\) với \(AC\) là \(I\), giao điểm của \(OE\) với \(BC\) là \(K\). Chứng minh \(OICK\) là hình chữ nhật.

c) Đường thẳng \(BC\) cắt \(Ax\) tại \(F\). Chứng minh \(D\) là trung điểm của \(AF\).

d) Gọi giao điểm của \(AE\) với \(OF\) và \(BF\) lần lượt là \(M\) và \(N\). So sánh \(MK\) và \(ON\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:562180

Phương pháp giải

a) Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau.

b) Sử dụng dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật.

c) Sử dụng tính chất đường trung bình trong tam giác.

Giải chi tiết

a) Chứng minh tam giác \(DOE\) vuông tại \(O\) và \(DE = AD + BE\)

* Tam giác \(DOE\) vuông tại \(O\)

+ \(Ax\) và \(DE\) là tiếp tuyến tại \(A\) và \(C\) của đường tròn \(\left( O \right)\)

Mà \(Ax \cap DE = \left\{ D \right\}\)

\( \Rightarrow OD\) là phân giác của \(\angle AOC\)

\( \Rightarrow \angle AOD = \angle DOC = \dfrac{1}{2}\angle AOC\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

+ \(By\) và \(DE\) là tiếp tuyến tại \(B\) và \(C\) của đường tròn \(\left( O \right)\)

Mà \(Bx \cap DE = \left\{ E \right\}\)

\( \Rightarrow OE\) là phân giác của \(\angle BOC\)

\( \Rightarrow \angle BOE = \angle COE = \dfrac{1}{2}\angle BOC\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Ta có: \(\angle AOB = {180^0}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle AOC + \angle BOC = {180^0}\\ \Rightarrow \dfrac{1}{2}\angle DOC + \dfrac{1}{2}\angle EOC = {180^0}\\ \Rightarrow \angle DOC + \angle EOC = {90^0}\\ \Rightarrow \angle DOE = {90^0}\end{array}\)

\( \Rightarrow \Delta DOE\) vuông tại \(O\)

* \(DE = AD + BE\)

+ \(Ax\) và \(DE\) là tiếp tuyến tại \(A\) và \(C\) của đường tròn \(\left( O \right)\)

Mà \(Ax \cap DE = \left\{ D \right\}\)

\( \Rightarrow AD = DC\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

+ \(By\) và \(DE\) là tiếp tuyến tại \(B\) và \(C\) của đường tròn \(\left( O \right)\)

Mà \(Bx \cap DE = \left\{ E \right\}\)

\( \Rightarrow CE = BE\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Ta có: \(DE = DC + CE\)

Mà \(\left\{ \begin{array}{l}AD = DC\left( {cmt} \right)\\CE = BE\left( {cmt} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow DE = AD + BE\)

b) Gọi giao điểm của \(OD\) với \(AC\) là \(I\), giao điểm của \(OE\) với \(BC\) là \(K\). Chứng minh \(OICK\) là hình chữ nhật.

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AD = DC\left( {cmt} \right)\\AO = OC = R\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow OD\) là đường trung trực của \(AC\)

\( \Rightarrow DO \bot AC\), mà \(AC \cap DO = \left\{ I \right\}\)

\( \Rightarrow \angle CIO = {90^0}\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}CE = BE\left( {cmt} \right)\\CO = BO = R\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow OE\) là đường trung trực của \(BC\)

\( \Rightarrow OE \bot BC\), mà \(OE \cap BC = \left\{ K \right\}\)

\( \Rightarrow CKO = {90^0}\)

Xét tứ giác \(CIOK\) có: \(\angle IOK = \angle CIO = \angle CKO = {90^0}\)

\( \Rightarrow CIOK\) là hình chữ nhật.

c) Đường thẳng \(BC\) cắt \(Ax\) tại \(F\). Chứng minh \(D\) là trung điểm của \(AF\).

Vì \(CIOK\) là hình chữ nhật

\(\begin{array}{l} \Rightarrow OI//CK\\ \Rightarrow OD//BF\end{array}\)

Xét \(\Delta ABF\) có:

\(O\) là trung điểm của \(AB\)

\(OD//BF\)

\( \Rightarrow D\) là trung điểm của \(BF\)

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.