Biết phương trình \({z^2} + mz + {m^2} - 2 = 0\) (\(m\) là tham số thực) có hai nghiệm phức

Câu hỏi số 562220:

Vận dụng cao

Biết phương trình \({z^2} + mz + {m^2} - 2 = 0\) (\(m\) là tham số thực) có hai nghiệm phức \({z_1},\,\,{z_2}\). Gọi \(A,\,\,B,\,\,C\) lần lượt là điểm biểu diễn các số phức \({z_1},\,\,{z_2},\,\,{z_0} = i\). Có bao nhiêu giá trị của tham số \(m\) để diện tích tam giác \(ABC\) bằng 1?

A. 2.

B. 3.

C. 4.

D. 1.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:562220

Phương pháp giải

- Xét các TH \(\Delta > 0,\,\,\Delta = 0,\,\,\Delta < 0\).

- Biểu diễn \(AB,\,\,d\left( {C,AB} \right)\) theo \(m\).

- \({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.d\left( {C,AB} \right)\) từ đó tìm được \(m\).

Giải chi tiết

Ta có: \(\Delta = {m^2} - 4\left( {{m^2} - 2} \right) = 8 - 3{m^2}\).

TH1: \(\Delta > 0 \Leftrightarrow 8 - 3{m^2} > 0 \Leftrightarrow - \dfrac{{2\sqrt 6 }}{3} < m < \dfrac{{2\sqrt 6 }}{3}\).

Khi đó phương trình đã cho có 2 nghiệm \({z_1} \ne {z_2} \in {\bf{R}}\) và \(A\left( {{z_1};0} \right),\,\,B\left( {{z_2};0} \right)\).

Do đó \({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.CO = \dfrac{1}{2}\left| {{z_1} - {z_2}} \right|.1 = \dfrac{1}{2}\left| {{z_1} - {z_2}} \right|\)

Theo giả thiết ta có \({S_{ABC}} = 1 \Rightarrow \left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 2\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {{z_1} + {z_2}} \right)^2} - 4{z_1}{z_2} = 4\\ \Rightarrow {m^2} - 4\left( {{m^2} - 2} \right) = 4\\ \Leftrightarrow 3{m^2} = 4\\ \Leftrightarrow m = \pm \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}\end{array}\)

TH2: \(\Delta = 0 \Leftrightarrow 8 - 3{m^2} = 0 \Leftrightarrow m = \pm \dfrac{{2\sqrt 6 }}{3}\)

Khi đó phương trình có 2 nghiệm \({z_1} = {z_2}\) (loại)

TH3: \(\Delta < 0 \Leftrightarrow 8 - 3{m^2} < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > \dfrac{{2\sqrt 6 }}{3}\\m < - \dfrac{{2\sqrt 6 }}{3}\end{array} \right.\)

Khi đó phương trình đã cho có 2 nghiệm phức phân biệt \({z_1} = a + bi,\,\,{z_2} = a - bi,\,\,a,b \in {\bf{R}}\).

Do đó \(A\left( {a;b} \right),\,\,B\left( {a; - b} \right)\).

Ta có: \({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.d\left( {C,AB} \right) = \dfrac{1}{2}.\left| {2b} \right|.\left| a \right| = \left| a \right|.\left| b \right|\)

Theo giả thiết \(\left| a \right|.\left| b \right| = 1 \Rightarrow {a^2}{b^2} = 1\,\,\left( * \right)\).

Ta có: \({z_1} + {z_2} = 2a \Rightarrow - m = 2a \Rightarrow a = \dfrac{{ - m}}{2} \Rightarrow {a^2} = \dfrac{{{m^2}}}{4}\)

\({z_1} - {z_2} = 2bi \Rightarrow {\left( {{z_1} - {z_2}} \right)^2} = - 4{b^2} \Rightarrow {\left( {{z_1} + {z_2}} \right)^2} - 4{z_1}{z_2} = - 4{b^2} \Rightarrow {m^2} - 4\left( {{m^2} - 2} \right) = - 4{b^2} \Rightarrow {b^2} = \dfrac{{3{m^2} - 8}}{4}\)

Khi đó: \(\left( * \right) \Leftrightarrow \dfrac{{{m^2}}}{4}.\dfrac{{3{m^2} - 8}}{4} = 1 \Leftrightarrow 3{m^4} - 8{m^2} - 16 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^2} = 4\\{m^2} = \dfrac{4}{3}\end{array} \right.\)

Kết hợp với điều kiện \(\Delta > 0\) ta được \(m = \pm 2\).

Vậy có 4 giá trị của \(m\) thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.