Cho khối hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi cạnh \(a\), góc \(ABC\) bằng \({120^0}\).

Câu hỏi số 562223:

Vận dụng

Cho khối hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi cạnh \(a\), góc \(ABC\) bằng \({120^0}\). Hình chiếu vuông góc của \(D'\) lên \(\left( {ABCD} \right)\) trùng với giao điểm của \(AC,\,\,BD\), góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ADD'A'} \right),\,\,\left( {A'B'C'D'} \right)\) bằng \({45^0}\). Thể tích khối hộp đã cho bằng

A. \(\dfrac{3}{8}{a^3}\).

B. \(\dfrac{1}{8}{a^3}\).

C. \(\dfrac{3}{{16}}{a^3}\).

D. \(\dfrac{3}{4}{a^3}\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:562223

Phương pháp giải

Gọi \(H = AC \cap BD\). Khi đó \(D'H \bot \left( {ABCD} \right)\).

Kẻ \(HK \bot AD\). Khi đó \(\left( {\left( {ADD'A'} \right),\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle D'KH = {45^0}\).

Từ đó tính được \(D'H\).

Tính thể tích của khối hộp.

Giải chi tiết

Gọi \(H = AC \cap BD\). Khi đó \(D'H \bot \left( {ABCD} \right)\).

Theo giả thiết ta có \(\angle ABC = {120^0} \Rightarrow \angle DAB = {60^0} \Rightarrow DB = AB = AD = a \Rightarrow DH = \dfrac{a}{2}\).

Hơn nữa áp dụng định lý cosin cho \(\Delta ABC\) có \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2} - 2AB.BCcos\angle ABC} = \sqrt {{a^2} + {a^2} - 2a.a.cos{{120}^0}} = a\sqrt 3 \Rightarrow AH = \dfrac{{AC}}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Kẻ \(HK \bot AD\). Khi đó \(HK \bot AD,\,\,HK = \dfrac{{AH.HD}}{{AD}} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{a}{2}}}{a} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}D'H \bot AD\\HK \bot AD\end{array} \right. \Rightarrow \left( {D'HK} \right) \bot AD \Rightarrow \left( {\left( {ADD'A'} \right),\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle D'KH = {45^0}\).

Do đó \(D'H = HK = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\).

Thể tích của khối hộp là \(V = D'H.2.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}.2.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{3{a^3}}}{8}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.