Số nghiệm nguyên của bất phương trình \(\sqrt {2{{\log }_2}\left( {x + 2} \right)} - \sqrt {{{\log

Câu hỏi số 562226:

Vận dụng cao

Số nghiệm nguyên của bất phương trình \(\sqrt {2{{\log }_2}\left( {x + 2} \right)} - \sqrt {{{\log }_2}\left( {2{x^2} - 1} \right)} \ge \left( {x + 1} \right)\left( {x - 5} \right)\) là

A. 5.

B. 6.

C. 7.

D. 4.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:562226

Phương pháp giải

- Tìm ĐKXĐ.

- Dựa vào phương pháp hàm đặc trưng tìm được khoảng giá trị của \(x\).

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2 > 0\\2{x^2} - 1 > 0\\{\log _2}\left( {x + 2} \right) \ge 0\\{\log _2}\left( {2{x^2} - 1} \right) \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2 \ge 1\\2{x^2} - 1 \ge 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 1\\\left[ \begin{array}{l}x \ge 1\\x \le - 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 1\\x = - 1\end{array} \right.\).

Ta có: \(\sqrt {2{{\log }_2}\left( {x + 2} \right)} - \sqrt {{{\log }_2}\left( {2{x^2} - 1} \right)} \ge \left( {x + 1} \right)\left( {x - 5} \right)\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {{{\log }_2}\left( {{x^2} + 4x + 4} \right)} + {x^2} + 4x + 4 \ge \sqrt {{{\log }_2}\left( {2{x^2} - 1} \right)} + 2{x^2} - 1\,\,\left( * \right)\)

Xét \(f\left( t \right) = {\log _2}t + t,\,\,t > 0\). Suy ra \(f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{t\ln 2}} + 1 > 0,\,\,\forall t > 0\).

Do đó hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Khi đó:

\(\begin{array}{l}\left( * \right) \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 4 \ge 2{x^2} - 1\\ \Leftrightarrow {x^2} - 4x - 5 \le 0\\ \Leftrightarrow - 1 \le x \le 5\end{array}\)

Kết hợp với ĐKXĐ ta được \(x \in \left\{ { - 1;1;2;3;4;5} \right\}\). Vậy có \(6\) nghiệm nguyên của \(x\) thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.