Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các số phức \(z\) thỏa mãn điều kiện \(z.\overline z = \left|
Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các số phức \(z\) thỏa mãn điều kiện \(z.\overline z = \left| {z + \overline z } \right|\). Xét các số phức \({z_1},\,\,{z_2} \in S\) sao cho \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 1\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \left| {{z_1} - \sqrt 3 i} \right| + \left| {\overline {{z_2}} + \sqrt 3 i} \right|\) bằng
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
- Tìm quỹ tích số phức \({z_1},\,\,{z_2}\) trên mặt phẳng phức.
- Gọi\(M\left( {0;\sqrt 3 } \right)\). Khi đó \(P = MA + MB\).
- Dùng BĐT tam giác \(AB \ge BC - CA\). Dấu xảy ra khi \(A,\,\,B,\,\,C\) thẳng hàng.
Giả sử \(z = x + yi,\,\,{z_1} = {x_1} + {y_1}i,\,\,{z_2} = {x_2} + {y_2}i\left( {\,x,y,{x_1},{y_1},{x_2},{y_2} \in {\bf{R}}} \right)\).
Ta có: \(z.\overline z = \left| {z + \overline z } \right|\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {x + yi} \right)\left( {x - yi} \right) = \left| {x + yi + x - yi} \right|\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = \left| {2x} \right|\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 2x\\{x^2} + {y^2} = - 2x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} - 2x = 0\,\,\left( {{C_1}} \right)\\{x^2} + {y^2} + 2x = 0\,\,\left( {{C_2}} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Ta có: \(\left( {{C_2}} \right)\) tâm \(I\left( { - 1;0} \right)\) bán kính \({R_1} = 1\)
\(\left( {{C_1}} \right)\) tâm \(J\left( {1;0} \right)\) bán kính \({R_2} = 1\)
Gọi \(A,\,\,B\) lần lượt là điểm biểu diễn số phức \({z_1},\,\,{z_2}\). Theo giả thiết ta suy ra \(AB = 1\).
\(P = \left| {{z_1} - \sqrt 3 i} \right| + \left| {\overline {{z_2}} + \sqrt 3 i} \right| \Rightarrow P = \left| {{x_1} + {y_1}i - \sqrt 3 i} \right| + \left| {{x_2} - {y_2}i + \sqrt 3 i} \right| = \sqrt {{x_1}^2 + {{\left( {{y_1} - \sqrt 3 } \right)}^2}} + \sqrt {x_2^2 + {{\left( {{y_2} - \sqrt 3 } \right)}^2}} \)
Gọi \(M\left( {0;\sqrt 3 } \right)\). Khi đó \(P = MA + MB\).
Ta có: \(MI = 2,\,\,MJ = 2\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}MA \ge MI - IA = 2 - 1 = 1\\MB \ge MJ - JB = 2 - 1 = 1\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow MA + MB \ge 2\)
Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MA} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {MI} \\\overrightarrow {MJ} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {MJ} \\AB = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A\left( { - \dfrac{1}{2};\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\\B\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\end{array} \right.\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \left| {{z_1} - \sqrt 3 i} \right| + \left| {\overline {{z_2}} + \sqrt 3 i} \right|\) bằng 2.
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
