Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ {1;2} \right]\) thỏa mãn

Câu hỏi số 562228:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ {1;2} \right]\) thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = 2,\,\,f\left( 2 \right) = 1\) và \(\int\limits_1^2 {{{\left( {xf'\left( x \right)} \right)}^2}dx} = 2\). Tích phân \(\int\limits_1^2 {{x^2}f\left( x \right)dx} \) bằng

A. 4.

B. 2.

C. 1.

D. 3.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:562228

Phương pháp giải

- Dựa vào giả thiết đưa về dạng tích phân \(\int\limits_a^b {{{\left( {g\left( x \right).f\left( x \right)} \right)}^2}dx} = 0\).

- Áp dụng \(\int\limits_1^2 {h\left( x \right)dx} = 0 \Leftrightarrow h\left( x \right) = 0\).

Giải chi tiết

Xét \({I_1} = \int\limits_1^2 {\dfrac{1}{{{x^2}}}dx} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \int\limits_1^2 {\dfrac{4}{{{x^2}}} = 2} \).

Xét \({I_2} = \int\limits_1^2 {f'\left( x \right)dx} = f\left( 2 \right) - f\left( 1 \right) = 1 - 2 = - 1\)

\( \Rightarrow 2\int\limits_1^2 {2xf'\left( x \right).\dfrac{1}{x}dx} = - 4\).

Ta có \(\int\limits_1^2 {{{\left( {xf'\left( x \right)} \right)}^2}dx} + 2.\int\limits_1^2 {xf'\left( x \right).\dfrac{1}{x}dx} + \int\limits_1^2 {\dfrac{4}{{{x^2}}}dx} = 2 - 4 + 2 = 0\).

\( \Rightarrow \int\limits_1^2 {{{\left[ {xf'\left( x \right) + \dfrac{2}{x}} \right]}^2}dx} = 0 \Rightarrow xf'\left( x \right) + \dfrac{2}{x} = 0 \Rightarrow f'\left( x \right) = - \dfrac{2}{{{x^2}}} \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{2}{x} + C\)

Mà \(f\left( 1 \right) = 2 \Rightarrow C = 0 \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{2}{x}\).

Vậy \(\int\limits_1^2 {{x^2}f\left( x \right)dx} = \int\limits_1^2 {{x^2}.\dfrac{2}{x}dx} = \int\limits_1^2 {2xdx} = 3\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.