Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 12y + 6z + 24 = 0\).

Câu hỏi số 562230:

Vận dụng

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 12y + 6z + 24 = 0\). Hai điểm \(M,\,\,N\) thuộc \(\left( S \right)\) sao cho \(MN = 8\) và \(O{M^2} - O{N^2} = - 112\). Khoảng cách từ \(O\) đến đường thẳng \(MN\) bằng

A. 4.

B. 3.

C. \(2\sqrt 3 \).

D. \(\sqrt 3 \).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:562230

Phương pháp giải

- Tìm tâm \(I\) và bán kính của mặt cầu.

- Thêm điểm \(I\) vào \(O{M^2} - O{N^2} = - 112\) để biến đổi vectơ.

- Dựa vào giả thiết tìm được góc \(\left( {\overrightarrow {OI} ,\overrightarrow {MN} } \right)\).

- Tính \(d\left( {I,MN} \right)\).

Giải chi tiết

Gọi \(I\) là tâm của mặt cầu.

Ta có: \(\left( S \right)\) có \(I\left( {2; - 6; - 3} \right),\,\,R = 5\).

Suy ra: \(OI = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = 7\).

Ta có: \(O{M^2} - O{N^2} = - 112\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {\overrightarrow {OI} + \overrightarrow {IM} } \right)^2} - {\left( {\overrightarrow {OI} + \overrightarrow {IN} } \right)^2} = - 112\\ \Rightarrow \overrightarrow {OI} .\overrightarrow {NM} = - 56\\ \Rightarrow OI.MN.\cos \left( {\overrightarrow {OI} ,\overrightarrow {NM} } \right) = - 56 \Rightarrow 7.8.\cos \left( {\overrightarrow {OI} ,\overrightarrow {NM} } \right) = - 56\\ \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow {OI} ,\overrightarrow {NM} } \right) = - 1\\ \Rightarrow d\left( {O,MN} \right) = d\left( {I,MN} \right) = \sqrt {{5^2} - {4^2}} = 3\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.