Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có \(f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = - 1\) và \(f'\left( x \right) =

Câu hỏi số 562271:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có \(f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = - 1\) và \(f'\left( x \right) = \dfrac{{\sin x + \sin 3x}}{{2{{\sin }^4}x.\cos x}},\) \(\,\forall x \in \left( {\dfrac{\pi }{6};\dfrac{{5\pi }}{6}} \right)\). Khi đó \(\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{{3\pi }}{4}} {f\left( x \right)dx} \) bằng

A. 4.

B. 0.

C. \( - 2\).

D. 2.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:562271

Phương pháp giải

- Từ nguyên hàm \(f'\left( x \right)\) tìm \(f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx} \). Sử dụng công thức nhân ba: \(\sin 3x = 3\sin x - 4{\sin ^3}x\).

- Sau đó tính tích phân \(\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{{3\pi }}{4}} {f\left( x \right)dx} \).

Giải chi tiết

Ta có: \(f'\left( x \right) = \dfrac{{\sin x + \sin 3x}}{{2{{\sin }^4}x.\cos x}},\,\forall x \in \left( {\dfrac{\pi }{6};\dfrac{{5\pi }}{6}} \right) \Rightarrow \)Trên khoảng \(\left( {\dfrac{\pi }{6};\dfrac{{5\pi }}{6}} \right)\):

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = \int {\dfrac{{\sin x + \sin 3x}}{{2{{\sin }^4}x.\cos x}}} \,dx = \int {\dfrac{{\left( {\sin x + 3\sin x - 4{{\sin }^3}x} \right)\cos x}}{{2{{\sin }^4}x.\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right)}}} \,dx\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \int {\dfrac{{4\sin x\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right)\cos x}}{{2{{\sin }^4}x.\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right)}}} \,dx = 2\int {\dfrac{{\cos x}}{{{{\sin }^3}x}}} \,dx\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2\int {{{\sin }^{ - 3}}x} \,d\left( {\sin x} \right) = 2.\dfrac{{{{\sin }^{ - 2}}x}}{{ - 2}} + C = - \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} + C\end{array}\).

Mà \(f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = - 1 \Rightarrow - \dfrac{1}{{{{\sin }^2}\dfrac{\pi }{2}}} + C = - 1 \Leftrightarrow C = 0\) \( \Rightarrow f\left( x \right) = - \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}\).

Vậy \(\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{{3\pi }}{4}} {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{{3\pi }}{4}} {\dfrac{{ - 1}}{{{{\sin }^2}x}}dx} = - \left. {\tan x} \right|_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{{3\pi }}{4}} = - \left( {\tan \dfrac{{3\pi }}{4} - \tan \dfrac{\pi }{4}} \right) = 2\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.