Cho hình chóp \(S.ABC\) có mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC}
Cho hình chóp \(S.ABC\) có mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\). \(SAB\) là tam giác đều cạnh \(a\sqrt 3 ,\) \(BC = a\sqrt 3 \). Đường thẳng \(SC\) tạo với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) góc \({60^0}\). Thể tích của khối chóp \(S.ABC\) bằng
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
- Gọi \(H\) là trung điểm của \(AC\). Chứng minh \(BH \bot \left( {SAC} \right)\).
- Kẻ \(SI \bot \left( {ABC} \right)\), xác định góc giữa SC và (ABC).
- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính SA.
- Gọi K là trung điểm của SA. Tính HK, BK và sử dụng định lí Pytago tính BH.
- Tính thể tích \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}BH.{S_{\Delta SAC}}\).
Gọi \(H\) là trung điểm của \(AC\).
Tam giác \(ABC\) cân tại B (do \(BC = BA = a\sqrt 3 \)) \( \Rightarrow BH \bot AC\).
Do \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABC} \right) = AC\\BH \subset \left( {ABC} \right),\,\,BH \bot AC\end{array} \right.\) \( \Rightarrow BH \bot \left( {SAC} \right)\).
Gọi \(K\) là trung điểm của \(SA \Rightarrow BK \bot SA\) (do tam giác SAB đều).
Mà \(BH \bot SA \Rightarrow SA \bot \left( {BHK} \right) \Rightarrow SA \bot HK\).
Lại có \(HK//SC\) (do \(HK\) là đường trung bình của \(\Delta SAC\))
\( \Rightarrow SA \bot SC \Rightarrow \Delta SAC\) vuông tại \(S\).
Trong mp\(\left( {SAC} \right)\) kẻ \(SI \bot AC \Rightarrow SI \bot \left( {ABC} \right)\)
\( \Rightarrow \left( {SC;\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SC,CI} \right) = \angle SCI = {60^0}\).
Xét \(\Delta SAC\) vuông tại S\(\,\, \Rightarrow SC = SA.\cot C = a\sqrt 3 .\cot {60^0} = a\).
\( \Rightarrow {S_{SAC}} = \dfrac{1}{2}SA.SC = \dfrac{1}{2}.a\sqrt 3 .a = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\).
Ta lại có: \(HK = \dfrac{1}{2}SC = \dfrac{a}{2}\), \(\Delta SAB\) đều cạnh \(a\sqrt 3 \Rightarrow BK = \dfrac{{a\sqrt 3 .\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{3a}}{2}\).
\(\Delta BHK\) vuông tại \(H \Rightarrow BH = \sqrt {B{K^2} - H{K^2}} = \sqrt {\dfrac{{9{a^2}}}{4} - \dfrac{{{a^2}}}{4}} = a\sqrt 2 \).
Vậy thể tích của khối chóp \(S.ABC\) là: \(V = \dfrac{1}{3}BH.{S_{SAC}} = \dfrac{1}{3}.a\sqrt 2 .\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{6}\).
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
