Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các số phức \(z\) sao cho số phức \(w = \dfrac{1}{{\left| z \right| -

Câu hỏi số 562274:

Vận dụng cao

Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các số phức \(z\) sao cho số phức \(w = \dfrac{1}{{\left| z \right| - z}}\) có phần thực bằng \(\dfrac{1}{{18}}\). Xét các số phức \({z_1},\,\,{z_2} \in S\) thoả mãn \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 3\), giá trị lớn nhất của \(P = 5{\left| {{z_1} - 3 - 5i} \right|^2} + 2{\left| {{z_2} - 3 - 5i} \right|^2}\) gần bằng giá trị nào sau đây?

A. 1532.

B. 1533.

C. 1530.

D. 1531.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:562274

Phương pháp giải

Gọi \(a,b,c\)là độ dài các cạnh của một tam giác và \(d\) là độ dài đoạn thẳng nối từ đỉnh của tam giác với điểm nằm trên cạnh (ở đây cạnh có độ dài là \(a\)). Đoạn thẳng này chia cạnh \(a\) thành hai đoạn có độ dài \(m\) và \(n\). Ta có: \({b^2}m + {c^2}n = a\left( {{d^2} + mn} \right)\).

Giải chi tiết

Giả sử \(z = x + yi\,\,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\), điều kiện : \(\left| z \right| - z \ne 0\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}w = \dfrac{1}{{\left| z \right| - z}} = \dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} - x - yi}}\\ = \dfrac{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} - x + yi}}{{\left( {\sqrt {{x^2} + {y^2}} - x + yi} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + {y^2}} - x - yi} \right)}}\\ = \dfrac{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} - x + yi}}{{{{\left( {\sqrt {{x^2} + {y^2}} - x} \right)}^2} + {y^2}}} = \dfrac{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} - x + yi}}{{2{x^2} + 2{y^2} - 2x\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}\\ = \dfrac{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} - x}}{{2{x^2} + 2{y^2} - 2x\sqrt {{x^2} + {y^2}} }} + \dfrac{y}{{2{x^2} + 2{y^2} - 2x\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}i\\ = \dfrac{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} - x + yi}}{{2{x^2} + 2{y^2} - 2x\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}\\ = \dfrac{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} - x}}{{2{x^2} + 2{y^2} - 2x\sqrt {{x^2} + {y^2}} }} + \dfrac{y}{{2{x^2} + 2{y^2} - 2x\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}i\end{array}\)

w có phần thực bằng \(\dfrac{1}{{18}}\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} - x}}{{2{x^2} + 2{y^2} - 2x\sqrt {{x^2} + {y^2}} }} = \dfrac{1}{{18}}\\ \Leftrightarrow 9\left( {\sqrt {{x^2} + {y^2}} - x} \right) = {x^2} + {y^2} - x\sqrt {{x^2} + {y^2}} \\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt {{x^2} + {y^2}} - x} \right)\left( {9 - \sqrt {{x^2} + {y^2}} } \right) = 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {{x^2} + {y^2}} = x\,\,(1)\\\sqrt {{x^2} + {y^2}} = 9\,\,(2)\end{array} \right.\).

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = {x^2}\\x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 0\\x \ge 0\end{array} \right.\,\, \Rightarrow \)\(\left| z \right| - z = 0 \Rightarrow \) Loại.

\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 81\).

Giả sử \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} = {x_1} + {y_1}i\\{z_2} = {x_2} + {y_2}i\end{array} \right.\,\,\left( {{x_1},{x_2},{y_1},{y_2} \in \mathbb{R}} \right)\) và \(A\left( {{x_1},{y_1}} \right),\,B\left( {{x_2},{y_2}} \right)\) lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức \({z_1},{z_2}\)

Khi đó: \(A,B \in C\left( {O;9} \right)\) (đường tròn tâm \(O\), bán kính 9).

Ta có: \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 3 \Rightarrow AB = 3\).

Biểu thức \(P = 5{\left| {{z_1} - 3 - 5i} \right|^2} + 2{\left| {{z_2} - 3 - 5i} \right|^2} = 5A{I^2} + 2B{I^2}\) (trong đó \(I\left( {3;5} \right)\))

Gọi \(K\) là điểm thỏa mãn \(5\overrightarrow {AK} + 2\overrightarrow {BK} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow K \in \left[ {AB} \right],\) \(\dfrac{{AK}}{{BK}} = \dfrac{2}{5},\,AK = \dfrac{2}{7}AB = \dfrac{6}{7},\,BK = \dfrac{5}{7}AB = \dfrac{{15}}{7}\).

Khi đó:

\(\begin{array}{l}P = 5{\left( {\overrightarrow {AK} + \overrightarrow {KI} } \right)^2} + 2{\left( {\overrightarrow {BK} + \overrightarrow {KI} } \right)^2}\\\,\,\,\,\, = 5A{K^2} + 2B{K^2} + 2.\overrightarrow {KI} .\left( {5\overrightarrow {AK} + 2\overrightarrow {BK} } \right) + 7K{I^2}\\\,\,\,\,\, = 5.{\left( {\dfrac{6}{7}} \right)^2} + 2.{\left( {\dfrac{{15}}{7}} \right)^2} + 0 + 7.K{I^2} = \dfrac{{90}}{7} + 7.K{I^2}.\end{array}\).

Khi đó \({P_{\max }} \Leftrightarrow K{I_{\max }}\).

Xét \(\Delta OAB:\)\(OA = OB = 9,\,\,AB = 3,\,BK = \dfrac{{15}}{7},\,\,AK = \dfrac{6}{7}\)

\( \Rightarrow O{A^2}.BK + O{B^2}.AK = AB.\left( {O{K^2} + AK.BK} \right)\)

\( \Leftrightarrow {9^2}.\dfrac{{15}}{7} + {9^2}.\dfrac{6}{7} = 3.\left( {O{K^2} + \dfrac{{15}}{7}.\dfrac{6}{7}} \right)\)

\( \Leftrightarrow {9^2} = O{K^2} + \dfrac{{90}}{{49}} \Leftrightarrow O{K^2} = \dfrac{{3879}}{{49}} \Leftrightarrow OK = \dfrac{{3\sqrt {431} }}{7}\).

Vậy, khi \(A,B\) di chuyển trên đường tròn \(C\left( {O;9} \right)\) thì \(K\) di chuyển trên đường tròn \(C\left( {O;\dfrac{{3\sqrt {431} }}{7}} \right)\).

Suy ra \(I{K_{\max }} = IO + OK = \sqrt {{5^2} + {3^2}} + \dfrac{{3\sqrt {431} }}{7} = \sqrt {34} + \dfrac{{3\sqrt {431} }}{7} \Leftrightarrow \)\(I,O,K\) thẳng hàng, \(O\) nằm giữa \(I,\,\,K\).

Khi đó, \({P_{\max }} \approx 1531\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.