Cho lăng trụ đáy tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có cạnh \(2a\). Hình chiếu của \(A'\) lên mặt đáy
Cho lăng trụ đáy tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có cạnh \(2a\). Hình chiếu của \(A'\) lên mặt đáy trùng với trung điểm \(M\) của cạnh \(BC\). Biết góc tạo bởi \(A'B\) và mặt đáy là \({60^0}\). Khoảng cách từ \(B\) đến mặt phẳng \(\left( {AB'C} \right)\) là
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
Sử dụng công thức thể tích khối chóp để tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.
Ta có: \(A'M \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow \left( {A'B;\left( {ABC} \right)} \right) = \angle A'BM = {60^0}\).
Xét \(\Delta A'BM\) vuông tại \(M\) \( \Rightarrow A'M = BM.\tan {60^0} = a\sqrt 3 \).
Ta có: \({S_{ABC}} = \dfrac{{{{\left( {2a} \right)}^2}.\sqrt 3 }}{4} = \sqrt 3 {a^2}\)
\( \Rightarrow {V_{B'ABC}} = \dfrac{1}{3}.A'M.{S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}.a\sqrt 3 .{a^2}\sqrt 3 = {a^3}\).
Dựng hình bình hành \(A'B'DM\).
Từ đó suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}B'D//A'M \Rightarrow B'D \bot \left( {ABC} \right)\\B'D = A'M = a\sqrt 3 \end{array} \right.\).
Đồng thời \(AMDB\) cũng là hình bình hành (do AB = MD và AB // MD).
Ta có: \(AM//BD \Rightarrow BD \bot BC\)\( \Rightarrow \angle ABD = {60^0} + {90^0} = {150^0}\).
\(DB = AM = \dfrac{{2a.\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \).
Xét tam giác ABD có:
\(\begin{array}{l}A{D^2} = A{B^2} + B{D^2} - 2.AB.BD.\cos \angle ABD\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {\left( {2a} \right)^2} + {\left( {a\sqrt 3 } \right)^2} - 2.2a.a\sqrt 3 .\cos {150^0} = 13{a^2}\end{array}\)
\(\Delta BCD\) vuông tại \(B \Rightarrow DC = \sqrt {B{C^2} + B{D^2}} = \sqrt {4{a^2} + 3{a^2}} = a\sqrt 7 \).
\(\Delta AB'D\) vuông tại \(D \Rightarrow AB' = \sqrt {A{D^2} + B'{D^2}} = \sqrt {13{a^2} + 3{a^2}} = 4a\).
\(\Delta B'CD\) vuông tại \(D \Rightarrow B'C = \sqrt {D{C^2} + B'{D^2}} = \sqrt {7{a^2} + 3{a^2}} = a\sqrt {10} \).
Ta có: \(\cos \angle AB'C = \dfrac{{B'{A^2} + B'{C^2} - A{C^2}}}{{2.B'A.B'C}} = \dfrac{{16{a^2} + 10{a^2} - 4{a^2}}}{{2.4a.a\sqrt {10} }} = \dfrac{{11}}{{4\sqrt {10} }}\) \( \Rightarrow \sin \angle AB'C = \sqrt {1 - \dfrac{{121}}{{160}}} = \sqrt {\dfrac{{39}}{{160}}} \).
\( \Rightarrow {S_{AB'C}} = \dfrac{1}{2}.B'C.B'A.\sin \widehat {AB'C} = \dfrac{1}{2}.a\sqrt {10} .4a.\sqrt {\dfrac{{39}}{{160}}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt {39} }}{2}\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{V_{B.AB'C}} = \dfrac{1}{3}.d\left( {B;\left( {AB'C} \right)} \right).{S_{AB'C}}\\ \Leftrightarrow {a^3} = \dfrac{1}{3}.d\left( {B;\left( {AB'C} \right)} \right).\dfrac{{{a^2}\sqrt {39} }}{2}\\ \Leftrightarrow d\left( {B;\left( {AB'C} \right)} \right) = \dfrac{{6a}}{{\sqrt {39} }} = \dfrac{{2a\sqrt {39} }}{{13}}\end{array}\).
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
