Cho lăng trụ đáy tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có cạnh \(2a\). Hình chiếu của \(A'\) lên mặt đáy
Cho lăng trụ đáy tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có cạnh \(2a\). Hình chiếu của \(A'\) lên mặt đáy trùng với trung điểm \(M\) của cạnh \(BC\). Biết góc tạo bởi \(A'B\) và mặt đáy là \({60^0}\). Khoảng cách từ \(B\) đến mặt phẳng \(\left( {AB'C} \right)\) là
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
Sử dụng công thức thể tích khối chóp để tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.
Ta có: \(A'M \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow \left( {A'B;\left( {ABC} \right)} \right) = \angle A'BM = {60^0}\).
Xét \(\Delta A'BM\) vuông tại \(M\) \( \Rightarrow A'M = BM.\tan {60^0} = a\sqrt 3 \).
Ta có: \({S_{ABC}} = \dfrac{{{{\left( {2a} \right)}^2}.\sqrt 3 }}{4} = \sqrt 3 {a^2}\)
\( \Rightarrow {V_{B'ABC}} = \dfrac{1}{3}.A'M.{S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}.a\sqrt 3 .{a^2}\sqrt 3 = {a^3}\).
Dựng hình bình hành \(A'B'DM\).
Từ đó suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}B'D//A'M \Rightarrow B'D \bot \left( {ABC} \right)\\B'D = A'M = a\sqrt 3 \end{array} \right.\).
Đồng thời \(AMDB\) cũng là hình bình hành (do AB = MD và AB // MD).
Ta có: \(AM//BD \Rightarrow BD \bot BC\)\( \Rightarrow \angle ABD = {60^0} + {90^0} = {150^0}\).
\(DB = AM = \dfrac{{2a.\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \).
Xét tam giác ABD có:
\(\begin{array}{l}A{D^2} = A{B^2} + B{D^2} - 2.AB.BD.\cos \angle ABD\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {\left( {2a} \right)^2} + {\left( {a\sqrt 3 } \right)^2} - 2.2a.a\sqrt 3 .\cos {150^0} = 13{a^2}\end{array}\)
\(\Delta BCD\) vuông tại \(B \Rightarrow DC = \sqrt {B{C^2} + B{D^2}} = \sqrt {4{a^2} + 3{a^2}} = a\sqrt 7 \).
\(\Delta AB'D\) vuông tại \(D \Rightarrow AB' = \sqrt {A{D^2} + B'{D^2}} = \sqrt {13{a^2} + 3{a^2}} = 4a\).
\(\Delta B'CD\) vuông tại \(D \Rightarrow B'C = \sqrt {D{C^2} + B'{D^2}} = \sqrt {7{a^2} + 3{a^2}} = a\sqrt {10} \).
Ta có: \(\cos \angle AB'C = \dfrac{{B'{A^2} + B'{C^2} - A{C^2}}}{{2.B'A.B'C}} = \dfrac{{16{a^2} + 10{a^2} - 4{a^2}}}{{2.4a.a\sqrt {10} }} = \dfrac{{11}}{{4\sqrt {10} }}\) \( \Rightarrow \sin \angle AB'C = \sqrt {1 - \dfrac{{121}}{{160}}} = \sqrt {\dfrac{{39}}{{160}}} \).
\( \Rightarrow {S_{AB'C}} = \dfrac{1}{2}.B'C.B'A.\sin \widehat {AB'C} = \dfrac{1}{2}.a\sqrt {10} .4a.\sqrt {\dfrac{{39}}{{160}}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt {39} }}{2}\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{V_{B.AB'C}} = \dfrac{1}{3}.d\left( {B;\left( {AB'C} \right)} \right).{S_{AB'C}}\\ \Leftrightarrow {a^3} = \dfrac{1}{3}.d\left( {B;\left( {AB'C} \right)} \right).\dfrac{{{a^2}\sqrt {39} }}{2}\\ \Leftrightarrow d\left( {B;\left( {AB'C} \right)} \right) = \dfrac{{6a}}{{\sqrt {39} }} = \dfrac{{2a\sqrt {39} }}{{13}}\end{array}\).
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
