Trong không gian \(Oxyz\) với hệ toạ độ cho hai đường thẳng \({d_1}:\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{y}{1} =

Câu hỏi số 562276:

Vận dụng

Trong không gian \(Oxyz\) với hệ toạ độ cho hai đường thẳng \({d_1}:\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z + 2}}{{ - 1}}\) và \({d_2}:\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y + 2}}{3} = \dfrac{{z - 2}}{{ - 2}}\). Gọi \(\Delta \) là đường thẳng song song với \(\left( P \right):x + y + z - 7 = 0\) và cắt \({d_1},\,\,{d_2}\) lần lượt tại hai điểm \(A,B\) sao cho \(AB\) ngắn nhất. Phương trình của đường thẳng \(\Delta \) là

A. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 12 - t\\y = 5\\z = - 9 + t\end{array} \right.\).

B. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y = \dfrac{5}{2} - t\\z = - \dfrac{9}{2} + t\end{array} \right.\).

C. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 6 - 2t\\y = \dfrac{5}{2} + t\\z = - \dfrac{9}{2} + t\end{array} \right.\).

D. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 6 - t\\y = \dfrac{5}{2}\\z = - \dfrac{9}{2} + t\end{array} \right.\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:562276

Phương pháp giải

Gọi tọa độ các giao điểm \(A,B\) theo tham số hóa đường thẳng \({d_1},{d_2}\).

Dựa vào điều kiện \(\Delta \)\(//\left( P \right)\) ta được phương trình \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = 0\), từ đó, giải phương trình, đưa bài toán hai ẩn số về bài toán có một ẩn số.

Biện luận GTNN của \(AB\), tìm ra ẩn số trên.

Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \).

Giải chi tiết

Gọi tọa độ các điểm \(A\left( {1 + 2a;a; - 2 - a} \right)\) và \(B\left( {1 + b; - 2 + 3b;2 - 2b} \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {b - 2a;3b - a - 2; - 2b + a + 4} \right)\).

Do \(\Delta \)\(//\left( P \right):x + y + z - 7 = 0 \Rightarrow \)\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = 0\) (trong đó \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( {1;1;1} \right)\) là một VTPT của \(\left( P \right)\)).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow b - 2a + 3b - a - 2 - 2b + a + 4 = 0\\ \Leftrightarrow - 2a + 2b + 2 = 0 \Leftrightarrow b = a - 1\end{array}\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( { - a - 1;2a - 5; - a + 6} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( {a + 1} \right)}^2} + {{\left( {2a - 5} \right)}^2} + {{\left( {a - 6} \right)}^2}} = \sqrt {6{a^2} - 30a + 62} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sqrt {6\left( {{a^2} - 5a + \dfrac{{25}}{4}} \right) + \dfrac{{69}}{2}} = \sqrt {6{{\left( {a - \dfrac{5}{2}} \right)}^2} + \dfrac{{69}}{2}} \ge \sqrt {\dfrac{{69}}{2}} \end{array}\).

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow a = \dfrac{5}{2}\), khi đó \(A\left( {6;\dfrac{5}{2}; - \dfrac{9}{2}} \right),\) \(\overrightarrow {AB} = \left( { - \dfrac{7}{2};0;\dfrac{7}{2}} \right) = \dfrac{7}{2}\left( { - 1;0;1} \right)\). (dễ dàng kiểm tra điểm \(A\left( {6;\dfrac{5}{2}; - \dfrac{9}{2}} \right) \notin \left( P \right)\), khi đó đường thẳng \(\Delta \) thực sự song song với mp\(\left( P \right)\)).

Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\left( {6;\dfrac{5}{2}; - \dfrac{9}{2}} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow u = \left( { - 1;0;1} \right)\) có phương trình là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 6 - t\\y = \dfrac{5}{2}\\z = - \dfrac{9}{2} + t\end{array} \right.\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.