Có bao nhiêu số nguyên \(a\) để phương trình \({z^2} - \left( {a - 3} \right)z + {a^2} + a = 0\) có 2

Câu hỏi số 562277:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu số nguyên \(a\) để phương trình \({z^2} - \left( {a - 3} \right)z + {a^2} + a = 0\) có 2 nghiệm phức \({z_1},{z_2}\) thoả mãn \(\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \left| {{z_1} - {z_2}} \right|\)?

A. 4.

B. 3.

C. 2.

D. 1.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:562277

Phương pháp giải

Chia hai trường hợp:

TH1: Phương trình \({z^2} - \left( {a - 3} \right)z + {a^2} + a = 0\) (*) có 2 nghiệm phức thuần thực.

TH2: Phương trình \({z^2} - \left( {a - 3} \right)z + {a^2} + a = 0\) (*) có 2 nghiệm phức và không phải là số thực.

Biện luận tìm \(a\).

Giải chi tiết

Xét phương trình \({z^2} - \left( {a - 3} \right)z + {a^2} + a = 0\) (*) có: \(\Delta = {\left( {a - 3} \right)^2} - 4\left( {{a^2} + a} \right) = - 3{a^2} - 10a + 9\).

+) TH1: Phương trình \({z^2} - \left( {a - 3} \right)z + {a^2} + a = 0\) (*) có 2 nghiệm phức thuần thực \( \Leftrightarrow - 3{a^2} - 10a + 9 \ge 0\) (1):

Khi đó: \(\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \left| {{z_1} - {z_2}} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = {z_1} - {z_2}\\{z_1} + {z_2} = - {z_1} + {z_2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_2} = 0\\{z_1} = 0\end{array} \right.\)

Tức là phương trình (*) có một nghiệm bằng 0 \( \Rightarrow {0^2} - \left( {a + 3} \right).0 + {a^2} + a = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\a = - 1\end{array} \right.\)

Kiểm tra điều kiện (1), suy ra : \(a = 0,a = - 1\) thỏa mãn.

+) TH2: Phương trình \({z^2} - \left( {a - 3} \right)z + {a^2} + a = 0\) (*) có 2 nghiệm phức và không phải là số thực \( \Leftrightarrow - 3{a^2} - 10a + 9 < 0\) (2).

Khi đó, (*) có 2 nghiệm phức là liên hợp của nhau. Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} = x + yi\\{z_2} = x - yi\end{array} \right.\,\,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\).

Ta có: \(\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \left| {{z_1} - {z_2}} \right| \Leftrightarrow \left| {2x} \right| = \left| {2yi} \right| \Leftrightarrow \left| x \right| = \left| y \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y\\x = - y\end{array} \right.\).

Khi đó, phương trình (*) có hai nghiệm phức có dạng \({z_1} = x + xi,\,\,{z_2} = x - xi\).

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + xi} \right) + \left( {x - xi} \right) = a - 3\\\left( {x + xi} \right)\left( {x - xi} \right) = {a^2} + a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x = a - 3\\{x^2}\left( {1 + i} \right)\left( {1 - i} \right) = {a^2} + a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{a - 3}}{2}\\{x^2} = \dfrac{{{a^2} + a}}{2}\end{array} \right.\,\,\,\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {\dfrac{{a - 3}}{2}} \right)^2} = \dfrac{{{a^2} + a}}{2} \Leftrightarrow {a^2} - 6a + 9 = 2\left( {{a^2} + a} \right)\\ \Leftrightarrow {a^2} - 6a + 9 = 2{a^2} + 2a \Leftrightarrow {a^2} + 8a - 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1\\a = - 9\end{array} \right.\end{array}\)

Kiểm tra điều kiện (2), suy ra : \(a = 1,a = - 9\) thỏa mãn.

Vậy có tất cả 4 số nguyên \(a\) thỏa mãn yêu cầu bài ra.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.