Trong không gian với hệ toạ độ \(Oxyz\) cho điểm \(A\left( {2;11; - 5} \right)\) và mặt phẳng

Câu hỏi số 562278:

Vận dụng cao

Trong không gian với hệ toạ độ \(Oxyz\) cho điểm \(A\left( {2;11; - 5} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2mx + \left( {{m^2} + 1} \right)y + \left( {{m^2} - 1} \right)z - 10 = 0\). Biết rằng khi \(m\) thay đổi, tồn tại 2 mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) và cùng đi qua \(A\). Tổng bán kính của 2 mặt cầu đó là

A. \(7\sqrt 2 \).

B. \(12\sqrt 2 \).

C. \(2\sqrt 2 \).

D. \(5\sqrt 2 \).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:562278

Phương pháp giải

Mặt cầu tâm \(\left( {I;R} \right)\) tiếp xúc với mp\(\left( P \right) \Leftrightarrow d\left( {I;\left( P \right)} \right) = R\).

Sử dụng phương pháp đồng nhất hệ số.

Giải chi tiết

Gọi \(I\left( {a;b;c} \right)\) là tâm của mặt cầu. Bán kính mặt cầu \(R = IA = \sqrt {{{\left( {a - 2} \right)}^2} + {{\left( {b - 11} \right)}^2} + {{\left( {c + 5} \right)}^2}} \).

Với mọi giá trị \(m\):

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,d\left( {I;\left( P \right)} \right) = R\,\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {2ma + \left( {{m^2} + 1} \right)b + \left( {{m^2} - 1} \right)c - 10} \right|}}{{\sqrt {4{m^2} + {{\left( {{m^2} + 1} \right)}^2} + {{\left( {{m^2} - 1} \right)}^2}} }} = R\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {\left( {b + c} \right){m^2} + 2am + b - c - 10} \right|}}{{\sqrt {2\left( {{m^4} + 2{m^2} + 1} \right)} }} = R\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left| {\left( {b + c} \right){m^2} + 2am + b - c - 10} \right| = \sqrt 2 R\left( {{m^2} + 1} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left( {b + c} \right){m^2} + 2am + b - c - 10 = \sqrt 2 R\left( {{m^2} + 1} \right)\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\left( {b + c} \right){m^2} + 2am + b - c - 10 = - \sqrt 2 R\left( {{m^2} + 1} \right)\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.,\,\,\forall m\end{array}\)

Đồng nhất hệ số ta có:

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b + c = \sqrt 2 R\\2a = 0\\b - c - 10 = \sqrt 2 R\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0,b = 0,c = - 5,R = 2\sqrt 2 \\a = 0,b = 25,c = - 5,R = 10\sqrt 2 \end{array} \right.\,\,\, \Rightarrow {R_1} + {R_2} = 12\sqrt 2 \).

\(\left( 2 \right)\): vô nghiệm.

Vậy tổng bán kính của 2 mặt cầu đó là \(12\sqrt 2 \).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.