Có bao nhiêu số nguyên \(x \in \left[ { - 2022;2022} \right]\) để ứng với mỗi \(x\) có tối thiểu 64

Câu hỏi số 562279:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu số nguyên \(x \in \left[ { - 2022;2022} \right]\) để ứng với mỗi \(x\) có tối thiểu 64 số nguyên \(y\) thoả mãn \({\log _3}\sqrt {{x^4} + y} \ge {\log _2}\left( {x + y} \right)\)?

A. 3992.

B. 3994.

C. 3990.

D. 3989.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:562279

Phương pháp giải

Biện luận, đánh giá.

Giải chi tiết

Xét BPT \({\log _3}\sqrt {{x^4} + y} \ge {\log _2}\left( {x + y} \right)\) (1) :

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^4} + y > 0\\x + y > 0\\x,y \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y \ge 1\\x,y \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\)

(do: nếu \(x + y \ge 1 \Rightarrow y \ge 1 - x\), khi đó: \({x^4} + y \ge {x^4} - x + 1 = {\left( {{x^2} - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{1}{2} > 0\)).

Đặt \(t = x + y,\,\,\,t \ge 1\). BPT (1) trở thành: \({\log _3}\sqrt {{x^4} + t - x} \ge {\log _2}t\,\,\,(2)\).

Với mỗi \(x \in \mathbb{Z}\) có tối thiểu 64 số \(y \in \mathbb{Z}\) thỏa mãn (1) nên có tối thiểu 64 số nguyên \(t\,\,\left( {t \ge 1} \right)\) thỏa mãn (2).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = \log { _3}\sqrt {{x^4} - x + t} - {\log _2}t = \dfrac{1}{2}{\log _3}\left( {{x^4} - x + t} \right) - {\log _2}t\), có:

\(f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{2\left( {{x^4} - x + t} \right)\ln 3}} - \dfrac{1}{{t\ln 2}} < 0,\,\forall x,\forall t \ge 1\) nên \(f\left( t \right)\) nghịch biến trên \(\left[ {1; + \infty } \right)\).

Ta nhận thấy \({x^4} - x + 1 = x\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right) + 1 \ge 1\), do đó \({\log _3}\left( {{x^4} - x + 1} \right) \ge {\log _3}1 = 0\).

Do đó phương trình (2) luôn nhận nghiệm \(t = 1,\,\,\forall x \in \mathbb{Z}\).

Suy ra để mỗi \(x \in \mathbb{Z}\) có tối thiểu 64 \(y \in \mathbb{Z}\) thì \(f\left( {64} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}{\log _3}\left( {{x^4} - x + 64} \right) - {\log _2}64 \ge 0 \Leftrightarrow {x^4} - x + 64 \ge {3^{12}} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 27\\x \le - 27\end{array} \right.\) (do \(x \in \mathbb{Z}\)).

Kết hợp \(x \in \left[ { - 2022;2022} \right] \Rightarrow x \in \left[ { - 2022; - 27} \right] \cup \left[ {27;2022} \right]\).

Vậy có 3992 số nguyên \(x\) thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.