Cho hình chóp \(S.ABCD\) đáy là hình vuông cạnh \(2a\). Tam giác \(SAD\) cân tại \(S\) và nằm trong
Cho hình chóp \(S.ABCD\) đáy là hình vuông cạnh \(2a\). Tam giác \(SAD\) cân tại \(S\) và nằm trong một mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Biết thể tích khối chóp bằng \(\dfrac{{4{a^3}}}{3}\). Tính khoảng cách từ \(B\) đến mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Sử dụng công thức tính thể tích: \({V_{B.SCD}} = \dfrac{1}{3}d\left( {B,\left( {SCD} \right)} \right).{S_{\Delta SCD}} \Rightarrow d\left( {B,\left( {SCD} \right)} \right) = \dfrac{{3{V_{B.SCD}}}}{{{S_{\Delta SCD}}}}\).
Gọi \(H\) là trung điểm của \(AD\), vì tam giác SAD cân tại S nên \(SH \bot AD\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAD} \right) \bot \left( {ABCD} \right) = AD\\SH \subset \left( {SAD} \right),\,\,SH \bot AD\end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).
\( \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SH \cdot {S_{ABCD}} \Leftrightarrow \dfrac{{4{a^3}}}{3} = \dfrac{1}{3}SH \cdot {\left( {2a} \right)^2}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{4{a^3}}}{3} = \dfrac{4}{3}{a^2} \cdot SH \Leftrightarrow SH = a\).
Ta có:
\(\Delta SHD\) vuông tại \(H\) có \(SH = HD = a \Rightarrow SD = a\sqrt 2 \).
\(\Delta HDC\) vuông tại \(D\) có \(HD = a\), \(DC = 2a\) \( \Rightarrow HC = \sqrt {{a^2} + {{\left( {2a} \right)}^2}} = \sqrt 5 a\).
\(\Delta SHC\) vuông tại \(S\) có \(SH = a\), \(HC = \sqrt 5 a\) \( \Rightarrow SC = \sqrt {{a^2} + {{\left( {\sqrt 5 a} \right)}^2}} = \sqrt 6 a\).
\(\Delta SCD\) có \(S{D^2} + C{D^2} = {\left( {a\sqrt 2 } \right)^2} + 2{a^2} = 6{a^2} = S{C^2}\) nên theo định lí Pi-ta-go đảo suy ra \(\Delta SCD\) vuông tại \(D\).
\( \Rightarrow {S_{SCD}} = \dfrac{1}{2}SD \cdot CD = \dfrac{1}{2}a\sqrt 2 \cdot 2a = \sqrt 2 {a^2}.\)
Mà \({V_{S.BCD}} = \dfrac{1}{2}{V_{S.ABCD}} \Leftrightarrow {V_{S.BCD}} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{{4{a^3}}}{3} = \dfrac{{2{a^3}}}{3}.\)
\( \Rightarrow \dfrac{1}{3} \cdot d\left( {B,\left( {SCD} \right)} \right) \cdot {S_{SCD}} = \dfrac{{2{a^3}}}{3} \Leftrightarrow \dfrac{1}{3} \cdot d\left( {B,\left( {SCD} \right)} \right) \cdot \sqrt 2 {a^2} = \dfrac{{2{a^3}}}{3}\)
\( \Rightarrow d\left( {B,\left( {SCD} \right)} \right) = \sqrt 2 a.\)
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
