Cho hình chóp \(S.ABCD\) đáy là hình vuông cạnh \(2a\). Tam giác \(SAD\) cân tại \(S\) và nằm trong

Câu hỏi số 563146:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) đáy là hình vuông cạnh \(2a\). Tam giác \(SAD\) cân tại \(S\) và nằm trong một mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Biết thể tích khối chóp bằng \(\dfrac{{4{a^3}}}{3}\). Tính khoảng cách từ \(B\) đến mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\).

A. \(a\sqrt 3 \).

B. \(a\sqrt 2 \).

C. \(\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

D. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:563146

Phương pháp giải

Sử dụng công thức tính thể tích: \({V_{B.SCD}} = \dfrac{1}{3}d\left( {B,\left( {SCD} \right)} \right).{S_{\Delta SCD}} \Rightarrow d\left( {B,\left( {SCD} \right)} \right) = \dfrac{{3{V_{B.SCD}}}}{{{S_{\Delta SCD}}}}\).

Giải chi tiết

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AD\), vì tam giác SAD cân tại S nên \(SH \bot AD\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAD} \right) \bot \left( {ABCD} \right) = AD\\SH \subset \left( {SAD} \right),\,\,SH \bot AD\end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

\( \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SH \cdot {S_{ABCD}} \Leftrightarrow \dfrac{{4{a^3}}}{3} = \dfrac{1}{3}SH \cdot {\left( {2a} \right)^2}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{4{a^3}}}{3} = \dfrac{4}{3}{a^2} \cdot SH \Leftrightarrow SH = a\).

Ta có:

\(\Delta SHD\) vuông tại \(H\) có \(SH = HD = a \Rightarrow SD = a\sqrt 2 \).

\(\Delta HDC\) vuông tại \(D\) có \(HD = a\), \(DC = 2a\) \( \Rightarrow HC = \sqrt {{a^2} + {{\left( {2a} \right)}^2}} = \sqrt 5 a\).

\(\Delta SHC\) vuông tại \(S\) có \(SH = a\), \(HC = \sqrt 5 a\) \( \Rightarrow SC = \sqrt {{a^2} + {{\left( {\sqrt 5 a} \right)}^2}} = \sqrt 6 a\).

\(\Delta SCD\) có \(S{D^2} + C{D^2} = {\left( {a\sqrt 2 } \right)^2} + 2{a^2} = 6{a^2} = S{C^2}\) nên theo định lí Pi-ta-go đảo suy ra \(\Delta SCD\) vuông tại \(D\).

\( \Rightarrow {S_{SCD}} = \dfrac{1}{2}SD \cdot CD = \dfrac{1}{2}a\sqrt 2 \cdot 2a = \sqrt 2 {a^2}.\)

Mà \({V_{S.BCD}} = \dfrac{1}{2}{V_{S.ABCD}} \Leftrightarrow {V_{S.BCD}} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{{4{a^3}}}{3} = \dfrac{{2{a^3}}}{3}.\)

\( \Rightarrow \dfrac{1}{3} \cdot d\left( {B,\left( {SCD} \right)} \right) \cdot {S_{SCD}} = \dfrac{{2{a^3}}}{3} \Leftrightarrow \dfrac{1}{3} \cdot d\left( {B,\left( {SCD} \right)} \right) \cdot \sqrt 2 {a^2} = \dfrac{{2{a^3}}}{3}\)

\( \Rightarrow d\left( {B,\left( {SCD} \right)} \right) = \sqrt 2 a.\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.