Cho nửa đường tròn tâm \(O\), đường kính \(AB = 2R\). Trên nửa đường tròn lấy điểm \(C\)

Câu hỏi số 564064:

Vận dụng

Cho nửa đường tròn tâm \(O\), đường kính \(AB = 2R\). Trên nửa đường tròn lấy điểm \(C\) bất kì (khác \(A\) và \(B\)). Tiếp tuyến tại \(C\) và tiếp tuyến tại \(A\) cắt nhau tại \(M\).

a) Chứng minh bốn điểm \(O,A,M,C\) cùng thuộc một đường tròn.

b) \(AC\) cắt \(OM\) tại \(H\), chứng minh \(AC\) vuông góc với \(OM\) và \(OH.OM = {R^2}\)

c) Tia \(BH\) cắt nửa đường tròn tại \(D\). Chứng minh tam giác \(ODM\) đồng dạng với tam giác \(OHD\).

d) Tia \(AD\) cắt tia \(MH\) tại \(I\). Chứng minh \(I\) là trung điểm của \(MH.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:564064

Phương pháp giải

a) \(A,O\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(OM\)

b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông

c) \(\Delta DOM \sim \Delta OHD\left( {c.g.c} \right)\)

d) \(\Delta IAM \sim \Delta IMD\left( {g.g} \right) \Rightarrow I{M^2} = IA.ID\)

\(\Delta IHA\) vuông tại \(H,HD\) là đường cao:\(I{H^2} = ID.IA\)

Giải chi tiết

a) \(MA\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right) \Rightarrow MA \bot AO \Rightarrow \Delta MAO\) vuông tại \(A\)

\( \Rightarrow A\) thuộc đường tròn đường kính \(MO\)

\(MC\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right) \Rightarrow MC \bot CO \Rightarrow \Delta MCO\) vuông tại \(C\)

\( \Rightarrow C\) thuộc đường tròn đường kính \(MO\)

Do đó, \(A,C\) thuộc đường tròn đường kính \(MO\)

\( \Rightarrow A,O,C,M\) cùng thuộc một đường tròn

b) * \(MA,MC\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(A,C\)

\( \Rightarrow MA = MC\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Lại có: \(OA = OC = R\)

\( \Rightarrow MO\) là đường trung trực của \(AC\)

\( \Rightarrow MO \bot AC\)

* Ta có: \(MO \bot AC\left( {cmt} \right);MO \cap AC = \left\{ H \right\}\)

\( \Rightarrow AH \bot MO\)

\(\Delta MAO\) vuông tại \(A\), \(AH \bot MO\), áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông:\(A{O^2} = OH.OM\)

Mà \(AO = R\)

\( \Rightarrow OH.OM = {R^2}\)

c) Ta có: \(A{O^2} = OH.OM\left( {cmt} \right)\) mà \(AO = DO = R\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow D{O^2} = OH.OM\\ \Rightarrow \dfrac{{DO}}{{OM}} = \dfrac{{OH}}{{DO}}\end{array}\)

Xét \(\Delta ODM\) và \(\Delta OHD\) có:

\(\left. \begin{array}{l}\angle DOM\,\,\,chung\\\dfrac{{DO}}{{OM}} = \dfrac{{OH}}{{DO}}\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta DOM \sim \Delta OHD\left( {c.g.c} \right)\)

d) \(\Delta ODM \sim \Delta OHD\left( {cmt} \right) \Rightarrow \angle ODH = \angle OMD\)

Mà \(\angle ODH = \angle OBD\) (vì tam giác \(OBD\) cân tại \(O\))

Ta có: \(\angle OBD = \angle DAM\) (cùng phụ với \(\angle DAB\))

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle DAM = \angle OMD\\ \Rightarrow \angle IAM = \angle IMD\end{array}\)

\(\Delta IAM \sim \Delta IMD\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{IA}}{{IM}} = \dfrac{{IM}}{{ID}} \Rightarrow I{M^2} = IA.ID\)

\(\Delta IHA\) vuông tại \(H,HD\) là đường cao, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: \(I{H^2} = ID.IA\)

Vậy \(I{M^2} = I{H^2} = IA.ID \Rightarrow IM = IH\)

Mà \(I\) thuộc \(MH\)

\( \Rightarrow I\) là trung điểm của \(MH\)

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.