Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,2x + 2y + z + 5 = 0\) và mặt cầu \(\left( S

Câu hỏi số 564194:

Vận dụng cao

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,2x + 2y + z + 5 = 0\) và mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;2; - 2} \right)\). Biết \(\left( P \right)\) cắt \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là đường tròn \(\left( C \right)\) có chu vi \(8\pi \). Tìm bán kính của mặt cầu \(\left( T \right)\) chứa đường tròn \(\left( C \right)\) và \(\left( T \right)\) đi qua \(M\left( {1;1;1} \right)\).

A. \(R = 5\)

B. \(R = \dfrac{{\sqrt {265} }}{4}\)

C. \(R = \dfrac{{5\sqrt 5 }}{4}\)

D. \(R = 4\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:564194

Phương pháp giải

- Tính bán kính \(r\) của đường tròn \(\left( C \right)\).

- Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên (P) \( \Rightarrow H\) là tâm đường tròn \(\left( C \right)\). Tìm tọa độ điểm H.

- Viết phương trình đường thẳng d qua H và vuông góc với (P).

- Gọi J là tâm mặt cầu (T) \( \Rightarrow J \in d\). Tham số hóa tọa độ điểm J theo biến p.

- Giải hệ \(\left\{ \begin{array}{l}J{H^2} + {r^2} = {R^2}\\J{M^2} = {R^2}\end{array} \right.\) tìm p, với R là bán kính mặt cầu (T).

- Với p tìm được, tìm R.

Giải chi tiết

Đường tròn \(\left( C \right)\) có bán kính \(r = \dfrac{{8\pi }}{{2\pi }} = 4\).

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên (P) \( \Rightarrow H\) là tâm đường tròn \(\left( C \right)\).

Phương trình đường thẳng \(IH\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 + 2t\\z = - 2 + t\end{array} \right.\).

Khi đó tọa độ điểm H là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 + 2t\\z = - 2 + t\\2x + 2y + z + 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 0\\z = - 3\end{array} \right. \Rightarrow H\left( { - 1;0; - 3} \right)\).

Đường thẳng đi qua H và vuông góc với (P) có phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 2p\\y = 2p\\z = - 3 + p\end{array} \right.\,\,\left( d \right)\).

Gọi J là tâm mặt cầu \(\left( T \right) \Rightarrow J \in d \Rightarrow J\left( { - 1 + 2p;2p; - 3 + p} \right)\).

Ta có: \(J{H^2} = 9{p^2},\,\,J{M^2} = {\left( {2p - 2} \right)^2} + {\left( {2p - 1} \right)^2} + {\left( {p - 4} \right)^2} = 9{p^2} - 20p + 21\).

Gọi R là bán kính mặt cầu \(\left( T \right)\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}J{H^2} + {r^2} = {R^2}\\J{M^2} = {R^2}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9{p^2} + 16 = {R^2}\\9{p^2} - 20p + 21 = {R^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow 16 = - 20p + 21 \Leftrightarrow p = \dfrac{1}{4}\).

Vậy \({R^2} = 9{\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^2} + 16 = \dfrac{{265}}{{16}} \Rightarrow R = \dfrac{{\sqrt {265} }}{4}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.