Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) thỏa mãn \(f\left( x \right) > 0\,\,\forall x > \dfrac{1}{2}\) và có

Câu hỏi số 564196:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) thỏa mãn \(f\left( x \right) > 0\,\,\forall x > \dfrac{1}{2}\) và có đạo hàm \(f'\left( x \right)\) liên tục trên khoảng \(\left( {\dfrac{1}{2}; + \infty } \right)\) thỏa mãn \(f'\left( x \right) + 8x{f^2}\left( x \right) = 0\,\,\forall x > \dfrac{1}{2}\) và \(f\left( 1 \right) = \dfrac{1}{3}\). Tính \(f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) + ... + f\left( {1011} \right)\).

A. \(\dfrac{1}{2}.\dfrac{{2022}}{{2023}}\)

B. \(\dfrac{{2021}}{{2043}}\)

C. \(\dfrac{{2022}}{{4045}}\)

D. \(\dfrac{1}{2}.\dfrac{{2021}}{{2022}}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:564196

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp lấy nguyên hàm hai vế.

Giải chi tiết

Theo bài ra ta có: \(f'\left( x \right) + 8x{f^2}\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}} = 8x\).

Lấy nguyên hàm hai vế ta có: \(\int {\dfrac{{ - f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}}dx} = \int {8xdx} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{f\left( x \right)}} = 4{x^2} + C\).

Mặt khác: \(f\left( 1 \right) = \dfrac{1}{3} \Rightarrow \dfrac{1}{{f\left( 1 \right)}} = 4 + C \Leftrightarrow 3 = 4 + C \Leftrightarrow C = - 1\).

Suy ra \(\dfrac{1}{{f\left( x \right)}} = 4{x^2} - 1 \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{1}{{4{x^2} - 1}} = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{{2x - 1}} - \dfrac{1}{{2x + 1}}} \right)\).

Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 1 \right) = \dfrac{1}{2}\left( {1 - \dfrac{1}{3}} \right)\\f\left( 2 \right) = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{5}} \right)\\...\\f\left( {1011} \right) = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{{2021}} - \dfrac{1}{{2023}}} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow T = f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) + ... + f\left( {1011} \right) = \dfrac{1}{2}\left( {1 - \dfrac{1}{{2023}}} \right) = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{2022}}{{2023}}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.