Gọi S là tập nghiệm của phương trình \(\left( {{2^x} + {3^x} - 8x + 3} \right)\sqrt {{3^{{2^x}}} - m}

Câu hỏi số 564198:

Vận dụng cao

Gọi S là tập nghiệm của phương trình \(\left( {{2^x} + {3^x} - 8x + 3} \right)\sqrt {{3^{{2^x}}} - m} = 0\) (với m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m \in \left[ { - 2021;2021} \right]\) để tập hợp S có hai phần tử?

A. 2095

B. 2092

C. 2093

D. 2094

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:564198

Phương pháp giải

- Giải phương trình tích.

- Xét hàm số \(f\left( x \right) = {2^x} + {3^x} - 8x + 3\), chứng minh \(f''\left( x \right) > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\) nên phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có tối đa 2 nghiệm, nhẩm 2 nghiệm của phương trình.

- Để phương trình ban đầu có đúng 2 nghiệm thì:

+ TH1: \({3^{{2^x}}} - m = 0 \Leftrightarrow m = {3^{{2^x}}}\) vô nghiệm.

+ TH2: \({3^{{2^x}}} - m = 0 \Leftrightarrow m = {3^{{2^x}}}\) có nghiệm thuộc \(\left[ {1;2} \right)\).

- Tìm m, đối chiếu điều kiện đề bài đếm số giá trị m thỏa mãn.

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \({3^{{2^x}}} - m \ge 0\).

Ta có: \(\left( {{2^x} + {3^x} - 8x + 3} \right)\sqrt {{3^{{2^x}}} - m} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{2^x} + {3^x} - 8x + 3 = 0\\{3^{{2^x}}} - m = 0\end{array} \right.\)

Xét \(f\left( x \right) = {2^x} + {3^x} - 8x + 3\) ta có \(f'\left( x \right) = {2^x}\ln 2 + {3^x}\ln 3 - 8\), \(f''\left( x \right) = {2^x}{\left( {\ln 2} \right)^2} + {3^x}{\left( {\ln 3} \right)^2} > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

\( \Rightarrow f'\left( x \right) = 0\) có nhiều nhất 1 nghiệm.

\( \Rightarrow f\left( x \right) = 0\) có nhiều nhất 2 nghiệm.

Ta có: \(f\left( 1 \right) = 0,\,\,f\left( 2 \right) = 0\) nên \(x = 1,\,\,x = 2\) là 2 nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = 0\).

Để phương trình ban đầu có đúng 2 nghiệm thì:

TH1: \({3^{{2^x}}} - m = 0 \Leftrightarrow m = {3^{{2^x}}}\) vô nghiệm.

Ta có: \({2^x} > 0 \Leftrightarrow {3^{{2^x}}} > {3^0} = 1\). Do đó phương trình \(m = {3^{{2^x}}}\) vô nghiệm khi \(m \le 1\).

TH2: \({3^{{2^x}}} - m = 0 \Leftrightarrow m = {3^{{2^x}}}\) có nghiệm thuộc \(\left[ {1;2} \right)\).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\1 \le {\log _2}\left( {{{\log }_3}m} \right) < 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\9 \le m < 81\end{array} \right. \Leftrightarrow 9 \le m < 81\)

Kết hợp 2 TH và điều kiện đề bài ta có: \(m \in \left[ { - 2021;1} \right] \cup \left[ {9;81} \right),\,\,m \in \mathbb{Z}\).

Vậy có 2095 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.