Cho số phức \(z\) thoả mãn \(\left| z \right| = 1\). Gọi \(M,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và
Cho số phức \(z\) thoả mãn \(\left| z \right| = 1\). Gọi \(M,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \(P = \left| {{z^5} + {{\overline z }^3} + 6z} \right| - 2\left| {{z^4} + 1} \right|\). Tính \(M - m\)
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Ta có: \(z.\overline z = {\left| z \right|^2} = 1 \Leftrightarrow \overline z = \dfrac{1}{z}\)
Suy ra: \(P = \left| {{z^5} + \dfrac{1}{{{z^3}}} + 6z} \right| - 2\left| {{z^4} + 1} \right| = \dfrac{1}{{{{\left| z \right|}^3}}}\left| {{z^8} + 1 + 6{z^4}} \right| - 2\left| {{z^4} + 1} \right| = \left| {{z^8} + 1 + 6{z^4}} \right| - 2\left| {{z^4} + 1} \right|\)
Đặt \({\rm{w}} = {z^4} \Rightarrow \left| {\rm{w}} \right| = 1\), ta được \(P = \left| {{{\rm{w}}^2} + 6w + 1} \right| - \left| {2w + 2} \right|\)
Gọi \({\rm{w}} = x + yi\), vì \(\left| {\rm{w}} \right| = 1 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| x \right| \le 1\\\left| y \right| \le 1\end{array} \right.\)
Ta có: \(P = \left| {{x^2} + 6x + 1 - {y^2} + 2y\left( {x + 3} \right)i} \right| - 2\left| {x + 1 + yi} \right| = \left| {2{x^2} + 6x + 2y\left( {x + 3} \right)i} \right| - 2\left| {x + 1 + yi} \right|\)
\( = 2\left| {\left( {x + 3} \right)\left( {x + yi} \right)} \right| - 2\sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {y^2}} = 2\left| {\left( {x + 3} \right)} \right|\left| {\left( {x + yi} \right)} \right| - 2\sqrt {2x + 2} = 2\left( {x + 3} \right) - 2\sqrt {2x + 2} \)
Cách 1:
Xét hàm số \(f\left( x \right) = 2\left( {x + 3} \right) - 2\sqrt {2x + 2} \) trên đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\)
\(f'\left( x \right) = 2 - 2\dfrac{1}{{\sqrt {2x + 2} }};f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 2 - 2\dfrac{1}{{\sqrt {2x + 2} }} = 0 \Leftrightarrow \sqrt {2x + 2} = 1 \Leftrightarrow x = - \dfrac{1}{2}\)
Ta có: \(f\left( { - 1} \right) = 4;f\left( { - \dfrac{1}{2}} \right) = 3;f\left( 1 \right) = 4\)
Vậy \(M = 4,m = 3 \Rightarrow M - m = 1\)
Cách 2:
Vậy \(M = 4,m = 3 \Rightarrow M - m = 1\)
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
