Cho số phức \(z\) thoả mãn \(\left( {2 - i} \right)z - \left( {2 + i} \right)\overline z = 2i\). Giá

Câu hỏi số 564555:

Vận dụng

Cho số phức \(z\) thoả mãn \(\left( {2 - i} \right)z - \left( {2 + i} \right)\overline z = 2i\). Giá trị nhỏ nhất của \(\left| z \right|\) bằng:

A. \(1\)

B. \(\dfrac{{2\sqrt 5 }}{5}\)

C. \(2\)

D. \(\dfrac{{\sqrt 5 }}{5}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:564555

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Giả sử \(z = x + yi\left( {x;y \in {\bf{R}}} \right)\).

Ta có: \(\left( {2 - i} \right)z - \left( {2 + i} \right)\overline z = 2i \Leftrightarrow \left( {2 - i} \right)\left( {x + yi} \right) - \left( {2 + i} \right)\left( {x - yi} \right) = 2i\)

\( \Leftrightarrow \left( {2x + y} \right) + \left( {2y - x} \right)i - \left[ {\left( {2x + y} \right) + \left( { - 2y + x} \right)i} \right] = 2i \Leftrightarrow \left( {4y - 2x} \right)i = 2i \Leftrightarrow 4y - 2x = 2 \Leftrightarrow x = 2y - 1\)

Do đó \({\left| z \right|^2} = {x^2} + {y^2} = {\left( {2y - 1} \right)^2} + {y^2} = 5{y^2} - 4y + 1 = {\left( {\sqrt 5 y - \dfrac{2}{{\sqrt 5 }}} \right)^2} + \dfrac{1}{5} \ge \dfrac{1}{5},\forall y \in {\bf{R}}\)

Suy ra \(\left| z \right| = \sqrt {\dfrac{1}{5}} = \dfrac{{\sqrt 5 }}{5}\) khi \(y = \dfrac{2}{5};x = - \dfrac{1}{5}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.