Cho số phức \(z\) thoả mãn\(\left| z \right| = 1\), \(M,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = \left| {1 + z} \right| + 2\left| {1 - z} \right|\). Giá trị của biểu thức \(M + m\) bằng:

Câu 564556: Cho số phức \(z\) thoả mãn\(\left| z \right| = 1\), \(M,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = \left| {1 + z} \right| + 2\left| {1 - z} \right|\). Giá trị của biểu thức \(M + m\) bằng:

A. \(2\sqrt 5 + 2\)

B. \(6\)

C. \(2\sqrt 5 + 4\)

D. \(7\)

Câu hỏi : 564556

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Đáp án : A
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Gọi \(z = x + yi\left( {x,y \in {\bf{R}}} \right)\)
Ta có: \(\left| z \right| = 1 \Rightarrow \sqrt {{x^2} + {y^2}} = 1 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 1\)
\( \Rightarrow A = \left| {1 + z} \right| + 2\left| {1 - z} \right| = \sqrt {2 + 2x} + 2\sqrt {2 - 2x} \) với \(x \in \left[ { - 1;1} \right]\)
Xét hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {2 + 2x} + 2\sqrt {2 - 2x} \) với \(x \in \left[ { - 1;1} \right]\)
Cách 1:
Hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\) và
\(f'\left( x \right) = \dfrac{1}{{\sqrt {2 + 2x} }} - \dfrac{2}{{\sqrt {2 - 2x} }} = \dfrac{{\sqrt {1 - x} - 2\sqrt {1 + x} }}{{\sqrt {2\left( {1 - {x^2}} \right)} }} = 0 \Leftrightarrow \sqrt {1 - x} - 2\sqrt {1 + x} = 0 \Leftrightarrow x = - \dfrac{3}{5} \in \left[ { - 1;1} \right]\)
Khi đó \(f\left( { - 1} \right) = 4;f\left( { - \dfrac{3}{5}} \right) = 2\sqrt 5 ;f\left( 1 \right) = 2\)
Do đó: \(M = \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - \dfrac{3}{5}} \right) = 2\sqrt 5 ;m = \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = 2\). Suy ra \(M + m = 2\sqrt 5 + 2\)
Cách 2:

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.