Có bao nhiêu số nguyên dương \(a\) sao cho tồn tại số thực \(x\) thoả mãn phương trình sau:

Câu hỏi số 565079:

Vận dụng cao

\({2021^{{x^3} - {a^{3\log \left( {x + 1} \right)}}}}\left( {{x^3} + 2020} \right) = {a^{3\log \left( {x + 1} \right)}} + 2020\).

A. 9.

B. 5.

C. 12.

D. 8.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:565079

Phương pháp giải

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đơn điệu trên khoảng \(K \Rightarrow \) Phương trình \(f\left( x \right) = f\left( y \right) \Leftrightarrow x = y\) trên khoảng \(K\).

Giải chi tiết

Với \(a > 0,\,x > - 1\), ta có:

\({2021^{{x^3} - {a^{3\log \left( {x + 1} \right)}}}}\left( {{x^3} + 2020} \right) = {a^{3\log \left( {x + 1} \right)}} + 2020 \Leftrightarrow {2021^{{x^3}}}\left( {{x^3} + 2020} \right) = {2021^{{a^{3\log \left( {x + 1} \right)}}}}\left( {{a^{3\log \left( {x + 1} \right)}} + 2020} \right)\) (*)

Ta thấy: \(VP = {2021^{{a^{3\log \left( {x + 1} \right)}}}}\left( {{a^{3\log \left( {x + 1} \right)}} + 2020} \right) > 0,\forall a > 0,x > - 1 \Rightarrow VT > 0 \Rightarrow {x^3} + 2020 > 0\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {2021^t}\left( {t + 2020} \right),\,\,t \in \left( { - 2020; + \infty } \right)\), có

\(f'\left( t \right) = {2021^t}\ln 2021.\left( {t + 2020} \right) + {2021^t} = {2021^t}.\left( {\ln 2021.\left( {t + 2020} \right) + 1} \right) > 0,\forall t > - 2020\).

\( \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\left( { - 2020; + \infty } \right)\).

Khi đó, phương trình (*) tương đương \({x^3} = {a^{3\log \left( {x + 1} \right)}} \Leftrightarrow x = {a^{\log \left( {x + 1} \right)}} \Leftrightarrow x = {\left( {x + 1} \right)^{\log a}}\) (1)

Đặt \(b = \log a\,\,\left( {b \ne 1} \right)\). Phương trình (1) trở thành: \(x = {\left( {x + 1} \right)^b}\,\,\,\left( 2 \right)\,\, \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^b} - \left( {x + 1} \right) + 1 = 0\).

Xét hàm số \(g\left( t \right) = {t^b} - t + 1,\,\left( {t > 0} \right)\), có \(g'\left( t \right) = {t^{b - 1}} - 1,\,\,g'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 1\).

+) \(b > 1\)

\( \Rightarrow g\left( t \right) \ge 1,\forall t > 0\,\, \Rightarrow \) Phương trình (2) vô nghiệm.

+) \(b < 1\)

\( \Rightarrow \) Phương trình (2) có ít nhất một nghiệm trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).

Ta có : \(b < 1 \Leftrightarrow \log a < 1 \Leftrightarrow a < 10\). Mà \(a\) là số nguyên dương \( \Rightarrow a \in \left\{ {1;2;3;...;9} \right\}\): 9 giá trị.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.