Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + x + 1}\\{2x -

Câu hỏi số 565081:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + x + 1}\\{2x - 3}\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}{,khi\,x \ge 0}\\{,khi\,x < 0}\end{array}} \right.\). Biết \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f\left( {2\sin x - 1} \right)\cos xdx + \int\limits_e^{{e^2}} {\dfrac{{f\left( {\ln x} \right)}}{x}dx = \dfrac{a}{b}} } \) với \(\dfrac{a}{b}\) là phân số tối giản. Giá trị của tổng \(a + b\) bằng:

A. \(350\).

B. \(305\).

C. \( - 350\).

D. \(19\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:565081

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp đổi biến.

Giải chi tiết

Xét \(I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f\left( {2\sin x - 1} \right)\cos xdx} \):

Đặt \(t = 2\sin x - 1 \Rightarrow dt = 2\cos xdx \Rightarrow \cos xdx = \dfrac{1}{2}dt \Rightarrow I = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( t \right)} \dfrac{1}{2}dt = \dfrac{1}{2}\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)} dx = \dfrac{1}{2}\left( {\int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)} dx + \int\limits_0^1 {f\left( x \right)} dx} \right)\)

\( = \dfrac{1}{2}\left( {\int\limits_{ - 1}^0 {\left( {2x - 3} \right)} dx + \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} + x + 1} \right)} dx} \right) = \dfrac{1}{2}\left[ {\left. {\left( {{x^2} - 3x} \right)} \right|_{ - 1}^0 + \left. {\left( {\dfrac{1}{3}{x^3} + \dfrac{1}{2}{x^2} + x} \right)} \right|_0^1} \right] = \dfrac{1}{2}\left[ {\left( {0 - 4} \right) + \left( {\dfrac{{11}}{6} - 0} \right)} \right] = - \dfrac{{13}}{{12}}\).

Xét \(J = \int\limits_e^{{e^2}} {\dfrac{{f\left( {\ln x} \right)}}{x}} \,dx\):

Đặt \(u = \ln x \Rightarrow du = \dfrac{1}{x}dx \Rightarrow J = \int\limits_1^2 {f\left( u \right)du} = \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} = \left. {\left( {\dfrac{1}{3}{x^3} + \dfrac{1}{2}{x^2} + x} \right)} \right|_1^2 = \dfrac{{20}}{3} - \dfrac{{11}}{6} = \dfrac{{29}}{6}\).

\( \Rightarrow I + J = - \dfrac{{13}}{{12}} + \dfrac{{29}}{6} = \dfrac{{15}}{4} \Rightarrow a = 15,b = 4 \Rightarrow a + b = 19\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.