Cho hai số phức \({z_1},\,{z_2}\) thoả mãn \(\left| {{z_1} - 1 - 3i} \right| = 1\) và \(\left| {{z_2} + 1 - i}
Cho hai số phức \({z_1},\,{z_2}\) thoả mãn \(\left| {{z_1} - 1 - 3i} \right| = 1\) và \(\left| {{z_2} + 1 - i} \right| = \left| {{z_2} - 5 + i} \right|\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \left| {{z_2} - 1 - i} \right| + \left| {{z_2} - {z_1}} \right|\) bằng:
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Đưa bài toán về bài toán hình tọa độ Oxy.
\(\left| {{z_1} - 1 - 3i = 1} \right| \Rightarrow \) Tập hợp các điểm biểu diễn \(M\) của \({z_1}\) là đường tròn tâm \(I\left( {1;3} \right),R = 1\).
\(\left| {{z_2} + 1 - i} \right| = \left| {{z_2} - 5 + i} \right| \Rightarrow \) Tập hợp các điểm biểu diễn \(N\) của \({z_2}\) là đường trung trực \(d\) của \(AB\), trong đó \(A\left( { - 1;1} \right),\,B\left( {5; - 1} \right)\).
Phương trình đường thẳng \(d\) là:
\(6\left( {x - 2} \right) - 2\left( {y - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x - y - 6 = 0\).
Xét \(P = \left| {{z_2} - 1 - i} \right| + \left| {{z_2} - {z_1}} \right| = NJ + MN\,\,\,\,\,\left( {J\left( {1;1} \right)} \right)\).
Gọi \(K\) là điểm đối xứng của \(J\) qua đường thẳng \(d,\,\,\,Q\) là trung điểm của \(JK\).
Phương trình đường thẳng \(JK\) là: \(1\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 3y - 4 = 0\).
Tọa độ điểm \(Q\) là nghiệm của hpt: \(\left\{ \begin{array}{l}3x - y = 6\\x + 3y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{11}}{5}\\y = \dfrac{3}{5}\end{array} \right.\,\, \Rightarrow Q\left( {\dfrac{{11}}{5};\dfrac{3}{5}} \right)\).
Do \(Q\) là trung điểm của \(JK\) nên ta tìm được tọa độ điểm \(K\left( {\dfrac{{17}}{5};\dfrac{1}{5}} \right)\).
Nhận xét: \(JN + MN + IM = KN + NM + MI \ge IK\)
Dấu “=” xảy ra khi \(I,M,N,K\) theo thứ tự thẳng hàng.
Do đó, \({\left( {JN + MN + IM} \right)_{\min }} = IK = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{17}}{5} - 1} \right)}^2} + {{\left( {3 - \dfrac{1}{5}} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{12}}{5}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{14}}{5}} \right)}^2}} = \dfrac{{2\sqrt {85} }}{5}\).
\( \Rightarrow {P_{\min }} = \dfrac{{2\sqrt {85} }}{5} - 1\) (do \(IM = R = 1\)).
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
