Cho hàm số \(f\left( x \right) > 0\) và có đạo hàm liên tục trên \({\bf{R}}\), thoả mãn \(\left( {x

Câu hỏi số 565084:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right) > 0\) và có đạo hàm liên tục trên \({\bf{R}}\), thoả mãn \(\left( {x + 1} \right)f'\left( x \right) = \dfrac{{\sqrt {f\left( x \right)} }}{{x + 2}}\) và \(f\left( 0 \right) = {\left( {\dfrac{{\ln 2}}{2}} \right)^2}\). Giá trị \(f\left( 3 \right)\) bằng:

A. \(2{\left( {4\ln 2 - \ln 5} \right)^2}\).

B. \(\dfrac{1}{2}{\left( {4\ln 2 - \ln 5} \right)^2}\).

C. \(4{\left( {4\ln 2 - \ln 5} \right)^2}\).

D. \(\dfrac{1}{4}{\left( {4\ln 2 - \ln 5} \right)^2}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:565084

Phương pháp giải

Xác định hàm số \(f\left( x \right)\).

Tính \(f\left( 3 \right)\).

Giải chi tiết

Với \(x \in \left[ {0; + \infty } \right)\), có: \(\left( {x + 1} \right)f'\left( x \right) = \dfrac{{\sqrt {f\left( x \right)} }}{{x + 2}} \Rightarrow \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{\sqrt {f\left( x \right)} }} = \dfrac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} \Rightarrow \int {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{\sqrt {f\left( x \right)} }}} dx = \int {\dfrac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}} dx\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int {\dfrac{{d\left( {f\left( x \right)} \right)}}{{\sqrt {f\left( x \right)} }}} = \int {\left( {\dfrac{1}{{x + 1}} - \dfrac{1}{{x + 2}}} \right)} dx \Leftrightarrow 2\sqrt {f\left( x \right)} = \ln \left| {\dfrac{{x + 1}}{{x + 2}}} \right| + C \Rightarrow \sqrt {f\left( x \right)} = \dfrac{1}{2}\ln \left| {\dfrac{{x + 1}}{{x + 2}}} \right| + C\\ \Rightarrow f\left( x \right) = {\left( {\dfrac{1}{2}\ln \left| {\dfrac{{x + 1}}{{x + 2}}} \right| + C} \right)^2}.\end{array}\)

Mà \(f\left( 0 \right) = {\left( {\dfrac{{\ln 2}}{2}} \right)^2} \Rightarrow {\left( {\dfrac{1}{2}\ln \dfrac{1}{2} + C} \right)^2} = {\left( {\dfrac{{\ln 2}}{2}} \right)^2} \Leftrightarrow {\left( {C - \dfrac{{\ln 2}}{2}} \right)^2} = {\left( {\dfrac{{\ln 2}}{2}} \right)^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}C = 0\\C = \ln 2\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = {\left( {\dfrac{1}{2}\ln \left| {\dfrac{{x + 1}}{{x + 2}}} \right|} \right)^2}\\f\left( x \right) = {\left( {\dfrac{1}{2}\ln \left| {\dfrac{{x + 1}}{{x + 2}}} \right| + \ln 2} \right)^2}\end{array} \right.\).

+) \(f\left( x \right) = {\left( {\dfrac{1}{2}\ln \left| {\dfrac{{x + 1}}{{x + 2}}} \right|} \right)^2}\)\( \Rightarrow f\left( 3 \right) = {\left( {\dfrac{1}{2}\ln \dfrac{4}{5}} \right)^2} = {\left( {\ln 2 - \dfrac{1}{2}\ln 5} \right)^2} = \dfrac{1}{4}{\left( {2\ln 2 - \ln 5} \right)^2}\).

+) \(f\left( x \right) = {\left( {\dfrac{1}{2}\ln \left| {\dfrac{{x + 1}}{{x + 2}}} \right| + \ln 2} \right)^2}\)\( \Rightarrow f\left( 3 \right) = {\left( {\dfrac{1}{2}\ln \dfrac{4}{5} + \ln 2} \right)^2} = \dfrac{1}{4}{\left( {4\ln 2 - \ln 5} \right)^2}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.