Cho các số dương \(x,y\) thoả mãn \({\log _5}\left( {\dfrac{{x + y - 1}}{{2x + 3y}}} \right) + 3x + 2y \le 4\).

Câu hỏi số 565087:

Vận dụng cao

Cho các số dương \(x,y\) thoả mãn \({\log _5}\left( {\dfrac{{x + y - 1}}{{2x + 3y}}} \right) + 3x + 2y \le 4\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = 6x + 2y + \dfrac{4}{x} + \dfrac{9}{y}\) bằng:

A. \(19\).

B. \(11\sqrt 3 \).

C. \(\dfrac{{27\sqrt 2 }}{2}\).

D. \(\dfrac{{31\sqrt 6 }}{4}\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:565087

Phương pháp giải

Biến đổi để sử dụng phương pháp hàm đặc trưng.

Sử dụng BĐT Cô si để tìm giá trị nhỏ nhất.

Giải chi tiết

Ta có: \({\log _5}\left( {\dfrac{{x + y - 1}}{{2x + 3y}}} \right) + 3x + 2y \le 4\) (ĐK: \(x,y > 0;\,\,x + y - 1 > 0\))

\( \Leftrightarrow {\log _5}\left( {5x + 5y - 5} \right) + \left( {5x + 5y - 5} \right) \le {\log _5}\left( {2x + 3y} \right) + \left( {2x + 3y} \right)\) (*)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _5}t + t\,\,\left( {t > 0} \right) \Rightarrow f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{t\ln 5}} + 1 > 0,\forall t > 0 \Rightarrow \) Hàm số \(y = f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( {0; + {\infty ^{}}} \right)\)

Khi đó: (*)\( \Leftrightarrow 5x + 5y - 5 \le 2x + 3y \Leftrightarrow 3x + 2y \le 5\).

Ta có: \(A = 6x + 2y + \dfrac{4}{x} + \dfrac{9}{y} = \left( {9x + \dfrac{4}{x}} \right) + \left( {4y + \dfrac{9}{y}} \right) - \left( {3x + 2y} \right) \ge 2\sqrt {9x.\dfrac{4}{x}} + 2\sqrt {4y.\dfrac{9}{y}} - 5 = 12 + 12 - 5 = 19\).

Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}9x = \dfrac{4}{x}\\4y = \dfrac{9}{y}\\3x + 2y = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{2}{3}\\y = \dfrac{3}{2}\end{array} \right.\).

Vậy \({A_{\min }} = 19\) khi và chỉ khi \(x = \dfrac{2}{3},y = \dfrac{3}{2}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.