Có bao nhiêu số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z + 1 - 3i} \right| = 3\sqrt 2 \) và \({\left( {z + 2i} \right)^2}\) là số thuần ảo

Câu 565289: Có bao nhiêu số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z + 1 - 3i} \right| = 3\sqrt 2 \) và \({\left( {z + 2i} \right)^2}\) là số thuần ảo

A. \(1\)

B. \(2\)

C. \(3\)

D. \(4\)

Câu hỏi : 565289

Phương pháp giải:

Đáp án : C
(14) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Đặt \(z = a + bi\) \(\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\)
Khi đó \(\left| {z + 1 - 3i} \right| = 3\sqrt 2 \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 18\) \(\left( 1 \right)\)
1. \({\left( {z + 2i} \right)^2} = {\left[ {x + \left( {y + 2} \right)i} \right]^2} = {x^2} - {\left( {y + 2} \right)^2} + 2x\left( {y + 2} \right)i\)
Có \({\left( {z + 2i} \right)^2}\) là số thuần ảo \( \Rightarrow {x^2} - {\left( {y + 2} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = y + 2}\\{x = - \left( {y + 2} \right)}\end{array}} \right.\)
+ Với \(x = y + 2\) thay vào \(\left( 1 \right)\) ta được phương trình
1. \(2{y^2} = 0 \Leftrightarrow y = 0 \Rightarrow x = 2 \Rightarrow {z_1} = 2\)
+ Với \(x = - \left( {y + 2} \right)\) thay vào \(\left( 1 \right)\) ta được phương trình:
\(2{y^2} - 4y - 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 1 + \sqrt 5 }\\{y = 1 - \sqrt 5 }\end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{z_2} = - 3 - \sqrt 5 + \left( {1 + \sqrt 5 } \right)i}\\{{z_3} = - 3 + \sqrt 5 + \left( {1 - \sqrt 5 } \right)i}\end{array}} \right.\)
Vậy có \(3\) số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.