Cho khối chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(AB = a,SA\) vuông góc với mặt phẳng

Câu hỏi số 565297:

Vận dụng cao

Cho khối chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(AB = a,SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA = a\). Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\) bằng \(\varphi \), với \(\cos \varphi = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\). Thể tích khối chóp đã cho bằng

A. \(\dfrac{{2{a^3}}}{3}\)

B. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}\)

C. \({a^3}\sqrt 2 \)

D. \(\dfrac{{2\sqrt 2 {a^3}}}{3}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:565297

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Đặt \(AD = x\) với \(x > 0\)

Trong mặt phẳng \(\left( {SAC} \right):\) kẻ \(AH \bot SB\) tại \(H\)

Trong mặt phẳng \(\left( {SAD} \right):\) kẻ \(AK \bot SD\) tại \(K\)

Chứng minh được \(AH \bot \left( {SBC} \right),AK \bot \left( {SCD} \right)\) và \(H\) là trung điểm của \(SB\)

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) như hình vẽ

Ta có \(A\left( {0;0;0} \right),B\left( {a;0;0} \right),S\left( {0;0;a} \right),D\left( {0;x;0} \right),H\left( {\dfrac{a}{2};0;\dfrac{a}{2}} \right)\)

Suy ra \(\overrightarrow {SD} = \left( {0;x; - a} \right),\overrightarrow {AS} = \left( {0;0;a} \right),\overrightarrow {AH} = \left( {\dfrac{a}{2};0;\dfrac{a}{2}} \right)\)

Trong tam giác \(SAD\) vuông tại \(A\) có:

\(S{A^2} = SK.SD \Leftrightarrow \dfrac{{SK}}{{SD}} = \dfrac{{S{A^2}}}{{S{D^2}}} = \dfrac{{S{A^2}}}{{S{A^2} + A{D^2}}} = \dfrac{{{a^2}}}{{{a^2} + {x^2}}}\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {SK} = \dfrac{{{a^2}}}{{{a^2} + {x^2}}}\overrightarrow {SD} \Leftrightarrow \overrightarrow {AK} - \overrightarrow {AS} = \dfrac{{{a^2}}}{{{a^2} + {x^2}}}\overrightarrow {SD} \)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AK} = \dfrac{{{a^2}}}{{{a^2} + {x^2}}}\overrightarrow {SD} + \overrightarrow {AS} \Leftrightarrow \overrightarrow {AK} = \left( {0;\dfrac{{{a^2}x}}{{{a^2} + {x^2}}};\dfrac{{a{x^2}}}{{{a^2} + {x^2}}}} \right)\)

Do \(\overrightarrow {AH} ,\overrightarrow {AK} \) lần lượt là hai VTPT của hai \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\) nên

\(\cos \varphi = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {AK} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AH} } \right|.\left| {\overrightarrow {AK} } \right|}} = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow \sqrt 3 \left| {\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {AK} } \right| = \left| {\overrightarrow {AH} } \right|.\left| {\overrightarrow {AK} } \right|\)

\( \Leftrightarrow \sqrt 3 \left| {\dfrac{a}{2}.\dfrac{{a{x^2}}}{{{a^2} + {x^2}}}} \right| = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.\sqrt {\dfrac{{{a^4}{x^2}}}{{{{\left( {{a^2} + {x^2}} \right)}^2}}} + \dfrac{{{a^2}{x^4}}}{{{{\left( {{a^2} + {x^2}} \right)}^2}}}} \)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{{{a^2}{x^2}}}{{{a^2} + {x^2}}} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}.\dfrac{{{a^2}x}}{{{a^2} + {x^2}}}.\sqrt {{a^2} + {x^2}} \Leftrightarrow \sqrt 3 x = \sqrt 2 .\sqrt {{a^2} + {x^2}} \)

\( \Leftrightarrow 3{x^2} = 2{a^2} + 2{x^2} \Leftrightarrow {x^2} = 2{a^2} \Leftrightarrow x = a\sqrt 2 = AD\).

Thể tích khối chóp \(S.ABCD\): \(V = \dfrac{1}{3}SA.AB.AD = \dfrac{1}{3}.a.a.a\sqrt 2 = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.