Cho khối chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(AB = a,SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA = a\). Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\) bằng \(\varphi \), với \(\cos \varphi = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\). Thể tích khối chóp đã cho bằng

Câu 565297: Cho khối chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(AB = a,SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA = a\). Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\) bằng \(\varphi \), với \(\cos \varphi = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\). Thể tích khối chóp đã cho bằng

A. \(\dfrac{{2{a^3}}}{3}\)

B. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}\)

C. \({a^3}\sqrt 2 \)

D. \(\dfrac{{2\sqrt 2 {a^3}}}{3}\)

Câu hỏi : 565297

Phương pháp giải:

Đáp án : B
(4) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Đặt \(AD = x\) với \(x > 0\)
Trong mặt phẳng \(\left( {SAC} \right):\) kẻ \(AH \bot SB\) tại \(H\)
Trong mặt phẳng \(\left( {SAD} \right):\) kẻ \(AK \bot SD\) tại \(K\)
Chứng minh được \(AH \bot \left( {SBC} \right),AK \bot \left( {SCD} \right)\) và \(H\) là trung điểm của \(SB\)
Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) như hình vẽ
Ta có \(A\left( {0;0;0} \right),B\left( {a;0;0} \right),S\left( {0;0;a} \right),D\left( {0;x;0} \right),H\left( {\dfrac{a}{2};0;\dfrac{a}{2}} \right)\)
Suy ra \(\overrightarrow {SD} = \left( {0;x; - a} \right),\overrightarrow {AS} = \left( {0;0;a} \right),\overrightarrow {AH} = \left( {\dfrac{a}{2};0;\dfrac{a}{2}} \right)\)
Trong tam giác \(SAD\) vuông tại \(A\) có:
\(S{A^2} = SK.SD \Leftrightarrow \dfrac{{SK}}{{SD}} = \dfrac{{S{A^2}}}{{S{D^2}}} = \dfrac{{S{A^2}}}{{S{A^2} + A{D^2}}} = \dfrac{{{a^2}}}{{{a^2} + {x^2}}}\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {SK} = \dfrac{{{a^2}}}{{{a^2} + {x^2}}}\overrightarrow {SD} \Leftrightarrow \overrightarrow {AK} - \overrightarrow {AS} = \dfrac{{{a^2}}}{{{a^2} + {x^2}}}\overrightarrow {SD} \)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AK} = \dfrac{{{a^2}}}{{{a^2} + {x^2}}}\overrightarrow {SD} + \overrightarrow {AS} \Leftrightarrow \overrightarrow {AK} = \left( {0;\dfrac{{{a^2}x}}{{{a^2} + {x^2}}};\dfrac{{a{x^2}}}{{{a^2} + {x^2}}}} \right)\)
Do \(\overrightarrow {AH} ,\overrightarrow {AK} \) lần lượt là hai VTPT của hai \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\) nên
\(\cos \varphi = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {AK} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AH} } \right|.\left| {\overrightarrow {AK} } \right|}} = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow \sqrt 3 \left| {\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {AK} } \right| = \left| {\overrightarrow {AH} } \right|.\left| {\overrightarrow {AK} } \right|\)
\( \Leftrightarrow \sqrt 3 \left| {\dfrac{a}{2}.\dfrac{{a{x^2}}}{{{a^2} + {x^2}}}} \right| = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.\sqrt {\dfrac{{{a^4}{x^2}}}{{{{\left( {{a^2} + {x^2}} \right)}^2}}} + \dfrac{{{a^2}{x^4}}}{{{{\left( {{a^2} + {x^2}} \right)}^2}}}} \)
\( \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{{{a^2}{x^2}}}{{{a^2} + {x^2}}} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}.\dfrac{{{a^2}x}}{{{a^2} + {x^2}}}.\sqrt {{a^2} + {x^2}} \Leftrightarrow \sqrt 3 x = \sqrt 2 .\sqrt {{a^2} + {x^2}} \)
\( \Leftrightarrow 3{x^2} = 2{a^2} + 2{x^2} \Leftrightarrow {x^2} = 2{a^2} \Leftrightarrow x = a\sqrt 2 = AD\).
Thể tích khối chóp \(S.ABCD\): \(V = \dfrac{1}{3}SA.AB.AD = \dfrac{1}{3}.a.a.a\sqrt 2 = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.