Cho hàm số \(f\left( x \right) = {e^{\sqrt {{x^2} + 1} }}\left( {{e^x} - {e^{ - x}}} \right)\). Có bao nhiêu số nguyên dương m thỏa mãn bất phương trình \(f\left( {m - 7} \right) + f\left( {\dfrac{{12}}{{m + 1}}} \right) < 0\)?

Câu 565705: Cho hàm số \(f\left( x \right) = {e^{\sqrt {{x^2} + 1} }}\left( {{e^x} - {e^{ - x}}} \right)\). Có bao nhiêu số nguyên dương m thỏa mãn bất phương trình \(f\left( {m - 7} \right) + f\left( {\dfrac{{12}}{{m + 1}}} \right) < 0\)?

A. Vô số

B. 4

C. 3

D. 5

Câu hỏi : 565705

Quảng cáo

Phương pháp giải:

- Biến đổi \(f\left( {m - 7} \right) + f\left( {\dfrac{{12}}{{m + 1}}} \right) < 0 \Leftrightarrow f\left( {m - 7} \right) < - f\left( {\dfrac{{12}}{{m + 1}}} \right)\).

- Chứng minh f(x) là hàm lẻ, và là hàm đồng biến.

- Giải bất phương trình chứa ẩn ở mẫu tìm m.

Đáp án : C
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).
Ta có: \(f\left( { - x} \right) = {e^{\sqrt {{x^2} + 1} }}\left( {{e^{ - x}} - {e^x}} \right) = - f\left( x \right)\) nên hàm số đã cho là hàm lẻ.
Ta có: \(f\left( x \right) = {e^{\sqrt {{x^2} + 1} }}\left( {{e^x} - {e^{ - x}}} \right) = {e^{\sqrt {{x^2} + 1} + x}} - {e^{\sqrt {{x^2} + 1} - x}}\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow f'\left( x \right) = \left( {\dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} + 1} \right){e^{\sqrt {{x^2} + 1} + x}} - \left( {\dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} - 1} \right){e^{\sqrt {{x^2} + 1} - x}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{e^{\sqrt {{x^2} + 1} + x}} + \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1} - x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{e^{\sqrt {{x^2} + 1} - x}}\end{array}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\sqrt {{x^2} + 1} > \sqrt {{x^2}} = \left| x \right|\\ \Leftrightarrow - \sqrt {{x^2} + 1} < x < \sqrt {{x^2} + 1} \\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + \sqrt {{x^2} + 1} > 0\\\sqrt {{x^2} + 1} - x > 0\end{array} \right.\end{array}\)
Do đó \(f'\left( x \right) > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\) \( \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Theo bài ra ta có: \(f\left( {m - 7} \right) + f\left( {\dfrac{{12}}{{m + 1}}} \right) < 0 \Leftrightarrow f\left( {m - 7} \right) < - f\left( {\dfrac{{12}}{{m + 1}}} \right)\)
Mà \(f\left( x \right)\) là hàm lẻ (cmt) \( \Rightarrow - f\left( {\dfrac{{12}}{{m + 1}}} \right) = f\left( {\dfrac{{ - 12}}{{m + 1}}} \right)\).
\( \Rightarrow f\left( {m - 7} \right) < f\left( {\dfrac{{ - 12}}{{m + 1}}} \right)\)
Mà hàm số f(x) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) \( \Rightarrow m - 7 < \dfrac{{ - 12}}{{m + 1}} \Leftrightarrow \dfrac{{{m^2} - 6m + 5}}{{m + 1}} < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 < m < 5\\m < - 1\end{array} \right.\).
Kết hợp điều kiện \(m \in {\mathbb{Z}^ + } \Rightarrow m \in \left\{ {2;3;4} \right\}\).
Vậy có 3 giá trị m thỏa mãn yêu cầu.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.