Cho các số dương \(a;b;c\) thỏa mãn \(\sqrt {a + b + ab + 1} + c = 6\) . Chứng minh rằng:a) \(a

Câu hỏi số 565910:

Vận dụng

Cho các số dương \(a;b;c\) thỏa mãn \(\sqrt {a + b + ab + 1} + c = 6\) . Chứng minh rằng:

a) \(a + b + 2c \ge 10\)

b) \(\dfrac{{2{\rm{a}} + 1}}{{a + 1}} + \dfrac{{2b + 1}}{{b + 1}} + \dfrac{{2c + 2}}{{c + 2}} \le 5\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:565910

Giải chi tiết

a) Áp dụng bất đẳng thức AM – GM:

\(\left( {a + 1} \right) + \left( {b + 1} \right) \ge 2\sqrt {\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)} \) \( \Rightarrow \sqrt {ab + a + b + 1} \le \dfrac{{a + b + 2}}{2}\)

\( \Rightarrow 6 = \sqrt {ab + a + b + 1} + c \le \dfrac{{a + b + 2}}{2} + c\)

\( \Rightarrow a + b + 2 + 2c \ge 12\)

Suy ra \(a + b + 2c \ge 10\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\sqrt {a + 1} = \sqrt {b + 1} \Leftrightarrow a = b\)

Vậy \(a + b + 2c \ge 10\)

b) Ta có:

\(\dfrac{{2{\rm{a}} + 1}}{{a + 1}} + \dfrac{{2b + 1}}{{b + 1}} + \dfrac{{2c + 2}}{{c + 2}} \le 5\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{2{\rm{a}} + 1}}{{a + 1}} - 2 + \dfrac{{2b + 1}}{{b + 1}} - 2 + \dfrac{{2c + 2}}{{c + 2}} - 2 \ge - 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{{ - 1}}{{a + 1}} + \dfrac{{ - 1}}{{b + 1}} + \dfrac{{ - 2}}{{c + 2}} \ge - 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{a + 1}} + \dfrac{1}{{b + 1}} + \dfrac{2}{{c + 2}} \le 1\end{array}\)

Ta có: \(\dfrac{1}{{a + 1}} + \dfrac{1}{{b + 1}} + \dfrac{2}{{c + 2}} \ge \dfrac{2}{{\sqrt {(a + 1)(b + 1)} }} + \dfrac{2}{{c + 2}} \ge \dfrac{{{{\left( {\sqrt 2 + \sqrt 2 } \right)}^2}}}{{\sqrt {(a + 1)(b + 1)} + c + 2}}\)

\( \Rightarrow \dfrac{1}{{a + 1}} + \dfrac{1}{{b + 1}} + \dfrac{2}{{c + 2}} \ge \dfrac{8}{{\dfrac{{a + b + 2}}{2} + c + 2}} = \dfrac{{16}}{{a + b + 2c + 6}} \ge \dfrac{{16}}{{10 + 6}} = 1\,\,\) (đpcm)

Vậy \(\dfrac{{2{\rm{a}} + 1}}{{a + 1}} + \dfrac{{2b + 1}}{{b + 1}} + \dfrac{{2c + 2}}{{c + 2}} \le 5\)

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.