Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2}\\ax + b\end{array}

Câu hỏi số 566611:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2}\\ax + b\end{array} \right.\)\(\begin{array}{l}khi\\khi\end{array}\)\(\begin{array}{l}x \le 1\\x > 1\end{array}\). Tìm \(a,b\) để hàm số có đạo hàm tại \(x = 1\)

A. \(a = 2;b = 1\)

B. \(a = 2;b = - 1\)

C. \(a = 1;b = 2\)

D. \(a = - 1;b = 2\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:566611

Phương pháp giải

+ Nếu hàm số có đạo hàm tại \(x = 1\) thì \(f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 1\)

+ Khi đó hàm số có đạo hàm tại \(x = 1\) \( \Leftrightarrow f'\left( {{1^ + }} \right) = f'\left( {{1^ - }} \right)\)

Giải chi tiết

TXĐ: \(D = {\bf{R}},x = 1 \in D\)

+ Nếu hàm số có đạo hàm tại \(x = 1\) thì \(f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 1\).

Ta có:\(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {ax + b} \right) = a + b\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {{x^2}} \right) = 1\\f\left( 1 \right) = 1\end{array} \right.\). Do đó \(f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 1 \Leftrightarrow a + b = 1\)

+ Ta tính các đạo hàm một bên:

\(f'\left( {{1^ + }} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{ax + b - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{ax + 1 - a - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{a\left( {x - 1} \right)}}{{x - 1}} = a\)

\(f'\left( {{1^ - }} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {x + 1} \right) = 2\)

Vậy hàm số có đạo hàm \(x = 1 \Leftrightarrow a = 2 \Rightarrow b = - 1\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.