Đánh giá năng lực Hà Nội
Đánh giá năng lực Hà Nội
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = \dfrac{x}{{1 - x}} + \dfrac{4}{x}\) với \(0 < x < 1\)
Câu 568258: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = \dfrac{x}{{1 - x}} + \dfrac{4}{x}\) với \(0 < x < 1\)
Sử dụng bất đẳng thức Cô-si:
Với hai số \(a,b\) không âm ta có: \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \)
-
Giải chi tiết:
Ta có:
\(A = \dfrac{x}{{1 - x}} + \dfrac{4}{x} = \dfrac{x}{{1 - x}} + \dfrac{{4\left( {1 - x} \right)}}{x} + 4\)
Vì \(0 < x < 1 \Rightarrow \dfrac{x}{{1 - x}} > 0;\,\dfrac{{4\left( {1 - x} \right)}}{x} > 0\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho \(\dfrac{x}{{1 - x}} > 0\) và \(\dfrac{{4\left( {1 - x} \right)}}{x} > 0\) ta có:
\(\begin{array}{l}\dfrac{x}{{1 - x}} + \dfrac{{4\left( {1 - x} \right)}}{x} \ge 2\sqrt {\dfrac{x}{{1 - x}}.\dfrac{{4\left( {1 - x} \right)}}{x}} \\ \Leftrightarrow \dfrac{x}{{1 - x}} + \dfrac{{4\left( {1 - x} \right)}}{x} \ge 4\\ \Leftrightarrow \dfrac{x}{{1 - x}} + \dfrac{{4\left( {1 - x} \right)}}{x} + 4 \ge 8\end{array}\)
Do đó giá trị nhỏ nhất của \(A = 8\)
Dấu bằng xảy ra \(\dfrac{x}{{1 - x}} = \dfrac{{4\left( {1 - x} \right)}}{x}\)
\( \Leftrightarrow {x^2} = 4{\left( {1 - x} \right)^2} \Rightarrow {x^2} = {\left[ {2\left( {1 - x} \right)} \right]^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\left( {1 - x} \right)\\x = - 2\left( {1 - x} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2 - 2x\\x = - 2 + 2x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{2}{3}\,\left( {TM} \right)\\x = 2\,\,\left( L \right)\end{array} \right.\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(A = 8 \Leftrightarrow x = \dfrac{2}{3}\)
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Tham Gia Group 2K9 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí
>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
