Cho hàm số y=x3+3x2+mx+m (1) 1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với m=0 (1) (học sinh tự giải) 2.Tìm các giá trị của m để đường thẳng (d) đi qua điểm I(-1;2) với hệ số góc bằng (-m) cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt A,B,I. Chứng minh rằng các tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại A,B song song với nhau.

Câu hỏi số 5685:

Cho hàm số y=x³+3x²+mx+m (1) 1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với m=0 (1) (học sinh tự giải) 2.Tìm các giá trị của m để đường thẳng (d) đi qua điểm I(-1;2) với hệ số góc bằng (-m) cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt A,B,I. Chứng minh rằng các tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại A,B song song với nhau.

A. m=1

B. m> $\frac{3}2{}$

C. m< $\frac{3}2{}$

D. m= $\frac{3}2{}$

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:5685

Giải chi tiết

1. Học sinh tự giải

2. Đường thẳng ∆: y=-m(x+1)+2

Xét phương trình: x³+3x²+mx+m=-m(x+1)+2

<=> (x+1)(x²+2x+2m-2)=0

∆ cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt <=> pt sau có 2 nghiệm phân biệt khác -1:

x²+2x+2m-2=0 (*)

<=> $\left\{\begin{matrix} \Delta '=1-(2m-2)>0\\1-2+2m-2\neq 0 \end{matrix}\right.$ <=> m< $\frac{3}2{}$ (**)

Gọi x₁,x₂ là hai nghiệm của (*) và A(x₁;y₁), B(x₂;y₂) là hai giao điểm.

Hệ số góc của hai tiếp tuyến tại A, B là:

k_i=y’(x_i)=3x_i²+6x_i+m=3(x_i²+2x_i)+m

Mặt khác x₁ là nghiệm của phương trình (*) nên

x_i²+2x_i=2-2m <=> k_i=6-5m (i=1,2)

Bây giờ ta sẽ chứng minh hai tiếp tuyến không thể trùng nhau

Đặt k=6-5m. Phương trình hai tiếp tuyến là: y=kx-kx_i+y_i

Nếu hai tiếp tuyến trùng nhau, tức là

kx-kx₁+y₁= kx-kx₂+y₂, $\forall$ x ∈R <=> k(x₂-x₁)+y₁-y₂=0

<=> (x₂-x₁)(k+m)=0 <=> k+m=0 (vì x₁ ≠ x₂) <=> 6-4m=0 <=> m= $\frac{3}2{}$

Điều này mâu thuẫn với (**).

Vậy với m< $\frac{3}2{}$ thì hai tiếp tuyến tại A.B song song với nhau.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.