Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình thoi cạnh a, . Gọi M là trung điểm cạnh AA', N là trug điểm cạnh CC'. Chứng minh bốn điểm B', M, D, N cùng thuộc 1 mặt phẳng. Hãy tính độ dài cạnh AA' theo a để tứ giác B'MDN LÀ HÌNH VUÔNG.

Câu hỏi số 5691:

Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình thoi cạnh a, $\widehat{BAD}$ $=60^{\circ}$ . Gọi M là trung điểm cạnh AA', N là trug điểm cạnh CC'. Chứng minh bốn điểm B', M, D, N cùng thuộc 1 mặt phẳng. Hãy tính độ dài cạnh AA' theo a để tứ giác B'MDN LÀ HÌNH VUÔNG.

A. AA' = $2a\sqrt{2}.$

B. AA' = $\frac{a\sqrt{2}}{2}.$

C. AA' = $a\sqrt{3}$

D. AA' = $a\sqrt{2}.$

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:5691

Giải chi tiết

Chứng minh B', M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng:

Ta có AMC'N, ABC'D' là các hình bình hành nên MN, AC' và BD' cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Do BD' và MN cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên B'MDN là hình bình hành. Vậy B', M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng.

Tính AA'. Đặt AA' = 2x. Ta có:

MB = $\sqrt{MA^{2}+AB^{2}}$ = $\sqrt{x^{2}+a^{2}}$

BN = $\sqrt{BC^{2}+CN^{2}}$ = $\sqrt{a^{2}+x^{2}}$

Suy ra MB = BN hay B'MDN là hình thoi. Để B'MDN là hình vuông thì điều kiện cần và đủ là tam giác BMN vuông tại B hay MN² = MB² + BN² (1).

Ta có AMNC là hình bình hành nên: MN = AC = $\sqrt{3}$ a

Do đó: (1) <=> 3a² = 2(a² + x²) <=> x = $\frac{a}{\sqrt{2}}$ . Vậy AA' = 2x =a. $\sqrt{2}$

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.