Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right) = {\cos ^2}2x - \sin x\cos x + 4\) trên \(\mathbb{R}\)

Câu hỏi số 569710:

Vận dụng

Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right) = {\cos ^2}2x - \sin x\cos x + 4\) trên \(\mathbb{R}\) là:

A. \(\mathop {\min }\limits_{x \in \mathbb{R}} f\left( x \right) = \dfrac{{16}}{5}\)

B. \(\mathop {\min }\limits_{x \in \mathbb{R}} f\left( x \right) = \dfrac{7}{2}\)

C. \(\mathop {\min }\limits_{x \in \mathbb{R}} f\left( x \right) = 3\)

D. \(\mathop {\min }\limits_{x \in \mathbb{R}} f\left( x \right) = \dfrac{{10}}{3}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:569710

Giải chi tiết

Ta có: \(f\left( x \right) = {\cos ^2}\left( {2x} \right) - \sin x\cos x + 4 = \left( {1 - 2{{\sin }^2}\left( {2x} \right)} \right) - \dfrac{1}{2}\sin \left( {2x} \right) + 4\)

Đặt \(\sin \left( {2x} \right) = t \Rightarrow t \in \left[ { - 1;1} \right]\). Khi đó \(y = - {t^2} - \dfrac{1}{2}t + 5,\,\,t \in \left[ { - 1;1} \right]\).

Ta có: \(y' = - 2t - \dfrac{1}{2}\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow - 2t - \dfrac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow t = - \dfrac{1}{4}\)

Lại có: \(\left\{ \begin{array}{l}y\left( { - 1} \right) = \dfrac{9}{2}\\y\left( { - \dfrac{1}{4}} \right) = \dfrac{{81}}{{16}}\\y\left( 1 \right) = \dfrac{7}{2}\end{array} \right. \Rightarrow \mathop {Min}\limits_{t \in \left[ { - 1;1} \right]} y = \dfrac{7}{2}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\) là \(\dfrac{7}{2}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.