Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) sao cho giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \left| {\dfrac{{{x^2} + mx + m}}{{x + 1}}} \right|\) trên \(\left[ {1;2} \right]\) bằng \(2\). Số phần tử của tập \(S\)?

Câu 569725: Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) sao cho giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \left| {\dfrac{{{x^2} + mx + m}}{{x + 1}}} \right|\) trên \(\left[ {1;2} \right]\) bằng \(2\). Số phần tử của tập \(S\)?

A. \(3\)

B. \(1\)

C. \(4\)

D. \(2\)

Câu hỏi : 569725

Quảng cáo

Đáp án : D
(2) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có: \(y' = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {2x + m} \right)\left( {x + 1} \right) - \left( {{x^2} + mx + m} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 0\)

\( \Leftrightarrow 2{x^2} + mx + 2x + m - {x^2} - mx - m = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\,\,\left( {ktm} \right)\\x = - 2\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)

Thay số:

+ \(y\left( 1 \right) = \left| {\dfrac{{2m + 1}}{2}} \right|\)

+ \(y\left( 2 \right) = \left| {\dfrac{{3m + 4}}{3}} \right|\)

* Giả sử: \(\max y = \left| {\dfrac{{2m + 1}}{2}} \right|\) khi \(\left| {\dfrac{{2m + 1}}{2}} \right| \ge \left| {\dfrac{{3m + 4}}{3}} \right|\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{4{m^2} + 4m + 1}}{4} \ge \dfrac{{9{m^2} + 24m + 16}}{9} \Leftrightarrow 36{m^2} + 36m + 9 \ge 36{m^2} + 96m + 64\)

\( \Leftrightarrow 60m \le - 55 \Leftrightarrow m \le - \dfrac{{11}}{{12}}\)

Khi đó: \(\max y = \left| {\dfrac{{2m + 1}}{2}} \right| = 2 \Leftrightarrow \left| {2m + 1} \right| = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2m + 1 = 4\\2m + 1 = - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \dfrac{3}{2}\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\\m = - \dfrac{5}{2}\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)

* Giả sử: \(\max y = \left| {\dfrac{{3m + 4}}{3}} \right|\) khi \(\left| {\dfrac{{3m + 4}}{3}} \right| \ge \left| {\dfrac{{2m + 1}}{2}} \right|\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{9{m^2} + 24m + 16}}{9} \ge \dfrac{{4{m^2} + 4m + 1}}{4} \Leftrightarrow 36{m^2} + 96m + 64 \ge 36{m^2} + 36m + 9\)

\( \Leftrightarrow 60m \ge - 55 \Leftrightarrow m \ge - \dfrac{{11}}{{12}}\)

Khi đó: \(\max y = \left| {\dfrac{{3m + 4}}{3}} \right| = 2 \Leftrightarrow \left| {3m + 4} \right| = 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3m + 4 = 6\\3m + 4 = - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \dfrac{2}{3}\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\m = - - \dfrac{{10}}{3}\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)

Vậy có 2 giá trị \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.