Các số thực x, y thay đổi luôn thỏa mãn x + y = 1. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M = (x3 + 1)(y3 + 1).

Câu hỏi số 5704:

Các số thực x, y thay đổi luôn thỏa mãn x + y = 1. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M = (x³ + 1)(y³ + 1).

A. max M = 4 khi và chỉ khi (x; y) = (0; 1) hoặc (x; y) = (1; 0)

B. max M = 4 khi và chỉ khi $(x; y)=\left ( \frac{1+\sqrt{5}}{2};\frac{1-\sqrt{5}}{2} \right )$ hoặc $(x; y)=\left ( \frac{1-\sqrt{5}}{2};\frac{1+\sqrt{5}}{2} \right )$

C. max M = 4 khi và chỉ khi $(x; y)=\left ( \frac{1}{2};\frac{1}{2} \right )$

D. max M = 5 khi và chỉ khi $(x; y)=\left ( \frac{1+\sqrt{5}}{2};\frac{1-\sqrt{5}}{2} \right )$ hoặc $(x; y)=\left ( \frac{1-\sqrt{5}}{2};\frac{1+\sqrt{5}}{2} \right )$

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:5704

Giải chi tiết

Ta có: M = x³y³ + x³ +y³ + 1 = x³y³ + (x + y)(x² – xy + y²) + 1

= x³y³ + (x + y)[(x + y)² – 3xy] + 1.

Đặt xy = t, do (x + y)² ≥ 4xy => t ≤ $\frac{1}{4}$ . Đặt f(t) = t³ – 3t + 2, t ≤ $\frac{1}{4}$ .

Ta có: f’(t) =3t² – 3 = 0 <=> t = -1 (do t ≤ $\frac{1}{4}$ ), f(-1) = 4 , $\lim_{t\rightarrow -\infty }f(t)= - \infty$ Lập bảng biến thiên => max M = max f(t) = f(-1) = 4 <=> $\left\{\begin{matrix} x+y=1\\xy=-1 \end{matrix}\right.$

=> x, y là hai nghiệm của phương trình: u² – u – 1 = 0.

Vậy max M = 4 khi và chỉ khi $(x; y)=\left ( \frac{1+\sqrt{5}}{2};\frac{1-\sqrt{5}}{2} \right )$

hoặc $(x; y)=\left ( \frac{1-\sqrt{5}}{2};\frac{1+\sqrt{5}}{2} \right )$

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.