Trong không gian với hệ toạ độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {1;2; - 3} \right),B\left( { - 2; - 2;1}

Câu hỏi số 571697:

Vận dụng

Trong không gian với hệ toạ độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {1;2; - 3} \right),B\left( { - 2; - 2;1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 2y - z + 9 = 0\). Gọi \(M\) là điểm thay đổi trên \(\left( P \right)\) sao cho \(\widehat {AMB} = {90^ \circ }\). Khi khoảng cách \(MB\) lớn nhất, phương trình đường thẳng \(MB\) là

A. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 2 + t}\\{y = - 2\,\,\,\,\,\,}\\{z = 1 + 2t}\end{array}} \right.\).

B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 2 - t\,\,}\\{y = - 2 + 2t}\\{z = 1 + 2t\,\,\,}\end{array}\,} \right.\).

C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 2 + 2t}\\{y = - 2 - t\,\,\,}\\{z = 1 + 2t\,\,\,\,}\end{array}} \right.\).

D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 2 + t\,\,\,\,\,\,}\\{y = - 2 - t\,\,\,\,\,\,}\\{z = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:571697

Phương pháp giải

Giải chi tiết

\(M\) là điểm thay đổi trên \(\left( P \right)\) sao cho \(\widehat {AMB} = {90^ \circ } \Rightarrow M\) thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\) đường kính \(AB\).

Mà \(M \in \left( P \right) \Rightarrow M\) thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) là giao tuyến của \(\left( S \right)\) và \(\left( P \right)\).

Nhận thấy rằng: \(B \in \left( P \right)\,\,\left( {do\,\,2.\left( { - 2} \right) + 2.\left( { - 2} \right) - 1 + 9 = 0} \right)\,\,\, \Rightarrow M \in \left( P \right) \cap \left( S \right) \Rightarrow M \in \left( C \right)\).

Do đó khoảng cách \(MB\) lớn nhất khi và chỉ khi \(MB\) là đường kính của đường tròn \(\left( C \right)\).

Ta viết phương trình đường thẳng \(MB\) khi \(MB\) là đường kính của \(\left( C \right)\) như sau:

+) Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( { - \dfrac{1}{2};0; - 1} \right)\) là trung điểm của \(AB\).

+) Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(J\). Đường thẳng \(IJ\) đi qua \(I\left( { - \dfrac{1}{2};0; - 1} \right)\) và có 1 VTCP là \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( {2;2; - 1} \right)\) có phương trình là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - \dfrac{1}{2} + 2t\\y = 2t\\z = - 1 - t\end{array} \right.\).

Giả sử \(J\left( { - \dfrac{1}{2} + 2t;2t; - 1 - t} \right) \Rightarrow 2\left( { - \dfrac{1}{2} + 2t} \right) + 2.2t - \left( { - 1 - t} \right) + 9 = 0 \Leftrightarrow - 1 + 4t + 4t + 1 + t + 9 = 0 \Leftrightarrow t = - 1\).

\( \Rightarrow J\left( { - \dfrac{5}{2}; - 2;0} \right) \Rightarrow \overrightarrow {BJ} = \left( { - \dfrac{1}{2};0; - 1} \right)\).

Đường thẳng \(MB\) đi qua \(B\left( { - 2; - 2;1} \right)\) và có 1 VTCP là \(\overrightarrow u = - 2\overrightarrow {BJ} = \left( {1;0;2} \right)\) có phương trình là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 2 + t}\\{y = - 2\,\,\,\,\,\,}\\{z = 1 + 2t}\end{array}} \right.\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.