Gọi \(M,N,P\) lần lượt là điểm biểu diễn của số phức \({z_1},{z_2},{z_3}\) thoả mãn các
Gọi \(M,N,P\) lần lượt là điểm biểu diễn của số phức \({z_1},{z_2},{z_3}\) thoả mãn các điều kiện \(\left| {5{z_1} + 9 - 3i} \right| = \left| {5{z_1}} \right|,\)\(\left| {{z_2} - 2} \right| = \left| {{z_2} - 3 - i} \right|,\left| {{z_3} + 1} \right| + \left| {{z_3} - 3} \right| = 4\). Khi \(M,N,P\) là ba đỉnh của tam giác thì giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác \(MNP\) bằng
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Đưa về bài toán hình học trên mp tọa độ \(Oxy\).
Giả sử \({z_1} = a + bi,\,\,{z_2} = c + di,\,\,{z_3} = e + fi\,\,\left( {a,b,c,d,e,f \in \mathbb{R}} \right)\).
+) \(\left| {5{z_1} + 9 - 3i} \right| = \left| {5{z_1}} \right| \Leftrightarrow \left| {5a + 5bi + 9 - 3i} \right| = \left| {5a + 5bi} \right| \Leftrightarrow {\left( {5a + 9} \right)^2} + {\left( {5b - 3} \right)^2} = {\left( {5a} \right)^2} + {\left( {5b} \right)^2}\)
\( \Leftrightarrow 90a - 30b + 90 = 0\)\( \Leftrightarrow 3a - b + 3 = 0\,\,\).
\( \Rightarrow \)Tập hợp các điểm biểu diễn số phức \({z_1}\) là đường thẳng \({d_1}:y = 3x + 3\).
+) \(\left| {{z_2} - 2} \right| = \left| {{z_2} - 3 - i} \right| \Leftrightarrow \left| {c + di - 2} \right| = \left| {c + di - 3 - i} \right| \Leftrightarrow {\left( {c - 2} \right)^2} + {d^2} = {\left( {c - 3} \right)^2} + {\left( {d - 1} \right)^2}\)\( \Leftrightarrow - 4c + 4 = - 6c + 9 - 2d + 1\)\( \Leftrightarrow 2c + 2d - 6 = 0 \Leftrightarrow c + d - 3 = 0\).
\( \Rightarrow \)Tập hợp các điểm biểu diễn số phức \({z_2}\) là đường thẳng \({d_2}:y = 3 - x\).
+) \(\left| {{z_3} + 1} \right| + \left| {{z_3} - 3} \right| = 4 \Leftrightarrow PA + PB = 4,\,\)trong đó \(A\left( { - 1;0} \right),\,B\left( {3;0} \right)\).
Khi đó: \(4 = PA + PB \ge AB = 4\,\, \Rightarrow PA + PB = AB = 4 \Rightarrow P\) nằm trên đoạn thẳng \(AB\).
Chu vi tam giác \(MNP\) nhỏ nhất \( \Rightarrow \) Tam giác \(MNP\) nằm trong tam giác \(ABC\), trong đó \(C\left( {0;3} \right)\) là giao điểm của \({d_1}\) và \({d_2}\).
Lần lượt lấy \(E,F\) là điểm đối xứng của \(P\) qua \(AC,\,AB\). Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}ME = MP\\NF = NP\\CE = CP = CF\end{array} \right.\).
\( \Rightarrow NP + MN + MP = NF + MN + ME \ge EF\).
Tam giác \(CEF\) cân tại \(C\), có \(\widehat {ECF} = 2\widehat {ABC} \Rightarrow \widehat {ECF}\) cố định. Do đó, \(EF\) ngắn nhất \( \Leftrightarrow CE\) ngắn nhất \( \Leftrightarrow CP\) ngắn nhất \( \Leftrightarrow P\) là hình chiếu vuông góc của \(C\) lên đoạn thẳng \(AB \Rightarrow P\left( {0;0} \right)\).
Như vậy, chu vi tam giác \(MNP\) nhỏ nhất bằng độ dài đoạn \(EF\)\( \Leftrightarrow M,E,N,F\) thẳng hàng và \(P\left( {0;0} \right)\).
Ta có: \(\cos \angle ACB = \dfrac{{A{C^2} + B{C^2} - A{B^2}}}{{2.AC.BC}} = \dfrac{{10 + 18 - 16}}{{2.\sqrt {10} .3\sqrt 2 }} = \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}\)
\( \Rightarrow \cos \angle ECF = 2{\cos ^2}\angle ACB - 1 = 2.\dfrac{1}{5} - 1 = - \dfrac{3}{5}\).
Mà \(CE = CF = CP = 3\,\)
\( \Rightarrow EF = \sqrt {C{E^2} + C{F^2} - 2.CE.CF.\cos \widehat {ECF}} = \sqrt {9 + 9 - 2.3.3.\dfrac{{ - 3}}{5}} = \sqrt {\dfrac{{144}}{5}} = \dfrac{{12\sqrt 5 }}{5}\).
Vậy, chu vi tam giác \(MNP\) nhỏ nhất bằng \(\dfrac{{12\sqrt 5 }}{5}\).
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
