Cho khối chóp tam giác đều \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\), góc giữa mặt bên

Câu hỏi số 571742:

Vận dụng

Cho khối chóp tam giác đều \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\), góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng \({60^ \circ }\). Thể tích khối chóp bằng

A. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\).

B. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\).

C. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\).

D. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:571742

Phương pháp giải

Xác định góc giữa hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right),\,\,\left( \beta \right)\):

- Tìm giao tuyến \(\Delta \) của \(\left( \alpha \right),\,\,\left( \beta \right)\).

- Xác định 1 mặt phẳng \(\left( \gamma \right) \bot \Delta \).

- Tìm các giao tuyến \(a = \left( \alpha \right) \cap \left( \gamma \right),b = \left( \beta \right) \cap \left( \gamma \right)\)

- Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right),\,\,\left( \beta \right)\): \(\left( {\left( \alpha \right);\left( \beta \right)} \right) = \left( {a;b} \right)\).

Giải chi tiết

Diện tích tam giác \(ABC\) là: \({S_{ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).

Gọi \(D\) là trung điểm của \(BC \Rightarrow AD \bot BC\) (1).

Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\).

Do khối chóp \(S.ABC\) đều nên \(SG \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SG \bot BC \Rightarrow BC \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow BC \bot SD\) (2).

Từ (1), (2) suy ra: \(\left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SD;AD} \right) = \angle SDA = {60^0}\).

\(\Delta SGD\) vuông tại \(G \Rightarrow SG = DG.\tan D = \dfrac{1}{3}AD.\tan {60^0} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\sqrt 3 = \dfrac{a}{2}\).

Thể tích khối chóp \(S.ABC\) là: \(V = \dfrac{1}{3}{S_{ABC}}.SG = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\dfrac{a}{2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.