Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Biết \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sin

Câu hỏi số 571743:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Biết \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sin 2x.f\left( {{{\cos }^2}x} \right)dx = 1} \), khi đó \(\int\limits_0^1 {\left[ {2f\left( {1 - x} \right) - 3{x^2} + 5} \right]dx} \) bằng

A. \(4\).

B. \(3\).

C. \(5\).

D. \(6\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:571743

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp đổi biến.

Giải chi tiết

Ta có: \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sin 2x.f\left( {{{\cos }^2}x} \right)dx = 1} \). Đặt \({\cos ^2}x = t \Rightarrow - 2\sin x\cos xdx = dt \Rightarrow \sin 2xdx = - dt\).

\( \Rightarrow - \int\limits_1^0 {f\left( t \right)dt = 1} \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx = 1} \).

Xét \(I = \int\limits_0^1 {\left[ {2f\left( {1 - x} \right) - 3{x^2} + 5} \right]dx = 2} \int\limits_0^1 {f\left( {1 - x} \right)dx} + \int\limits_0^1 {\left( { - 3{x^2} + 5} \right)dx} \):

+) \(J = 2\int\limits_0^1 {f\left( {1 - x} \right)dx} \):

Đặt \(u = 1 - x \Rightarrow du = - dx \Rightarrow \)\(J = 2\int\limits_1^0 {f\left( u \right)\left( { - du} \right)} = 2\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = 2.1 = 2\).

+) \(\int\limits_0^1 {\left( { - 3{x^2} + 5} \right)dx} = \left. {\left( { - {x^3} + 5x} \right)} \right|_0^1 = 4 - 0 = 4\).

\( \Rightarrow I = 2 + 4 = 6\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.