Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\). Biết \(f\left( 5 \right) = 1\)

Câu hỏi số 572302:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\). Biết \(f\left( 5 \right) = 1\) và \(\int\limits_0^1 {xf\left( {5x} \right)dx} = 1\), khi đó \(\int\limits_0^5 {{x^2}f'\left( x \right)dx} \) bằng

A. \( - 25\).

B. \(\dfrac{{123}}{5}\).

C. \(23\).

D. \(15\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:572302

Phương pháp giải

- Tính \(\int\limits_0^5 {xf\left( x \right)dx} \).

- Dùng công thức tích phân từng phần \(\int\limits_a^b {udv} = uv - \int\limits_a^b {vdu} \).

Giải chi tiết

Đặt \(t = 5x \Rightarrow dt = 5dx\).

\(\begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = 1 \Rightarrow t = 5\end{array}\)

Ta có: \(1 = \int\limits_0^1 {xf\left( {5x} \right)dx} = \dfrac{1}{5}\int\limits_0^5 {\dfrac{t}{5}f\left( t \right)dt} \Rightarrow \int\limits_0^5 {tf\left( t \right)dt} = 25\)

Xét \(I = \int\limits_0^5 {{x^2}f'\left( x \right)dx} \)

Ta có: \(I = \int\limits_0^5 {{x^2}f'\left( x \right)dx} = \int\limits_0^5 {{x^2}d\left( {f\left( x \right)} \right)} = \left. {{x^2}f\left( x \right)} \right|_0^5 - 2\int\limits_0^5 {xf\left( x \right)dx} = 25f\left( 1 \right) - 2.25 = - 25\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.