Trong không gian \(Oxyz\), từ điểm \(A\left( {1;1;0} \right)\) ta kẻ tiếp tuyến đến mặt cầu \(\left(
Trong không gian \(Oxyz\), từ điểm \(A\left( {1;1;0} \right)\) ta kẻ tiếp tuyến đến mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( { - 1;1;1} \right)\), bán kính \(R = 1\). Gọi \(M\left( {a;b;c} \right)\) là một trong các tiếp điểm ứng với các tiếp tuyến trên. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(T = \left| {2a - b + 2c} \right|\).
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
- Tính \(AM\), suy ra \(M\)thuộc mặt cầu \(\left( {S'} \right)\) có tâm \(A\) bán kính \(R' = 2\) hay \(M\) là điểm chung của \(\left( S \right),\,\left( {S'} \right)\).
- Tìm quỹ tích điểm \(M\) là mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
- \(M\) thuộc đường tròn giao của \(\left( S \right),\,\left( {S'} \right)\) với tâm \(H\), bán kính \(r\).
- Xét \(\left( \beta \right):2x - y + 2z = 0\). \(T = 3d\left( {M,\left( \beta \right)} \right)\).
Tính góc \(\gamma \) giữa \(\left( {\alpha ,\beta } \right)\).
- Gọi \(K\) là giao điểm của \(MH,\,\,\left( \beta \right)\).
- \(\max d\left( {M,\left( \beta \right)} \right) = \max \left[ {d\left( {H,\left( \beta \right)} \right) + r} \right]\).
Ta có: \(AI = \sqrt 5 ,\,\,AM = \sqrt {I{A^2} - {R^2}} = 2\).
Khi đó \(M\)thuộc mặt cầu \(\left( {S'} \right)\) có tâm \(A\) bán kính \(R' = 2\) hay \(M\) là điểm chung của \(\left( S \right),\,\left( {S'} \right)\).
Phương trình mặt cầu \(\left( {S'} \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {z^2} = 4\).
Tọa độ của \(M\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 1\\{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {z^2} = 4\end{array} \right. \Rightarrow 2x - z + 2 = 0\).
Vậy \(M\) thuộc mặt phẳng \(\left( \alpha \right):2x - z + 2 = 0\).
Gọi đường tròn \(\left( C \right) = \left( S \right) \cap \left( {S'} \right),\,\,\left( C \right) \subset \left( \alpha \right)\).
Gọi \(H\left( {{x_H};{y_H};{z_H}} \right)\) là tâm của \(\left( C \right)\). Khi đó \(A,\,\,H,\,\,I\) thẳng hàng.
Ta có: \(AH.AI = A{M^2} \Rightarrow \dfrac{{AH}}{{AI}} = \dfrac{{A{M^2}}}{{A{I^2}}} = \dfrac{4}{5}\)
Khi đó \(\overrightarrow {AH} = \dfrac{4}{5}\overrightarrow {AI} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_H} - 1 = \dfrac{{ - 8}}{5}\\{y_H} - 1 = 0\\{z_H} = \dfrac{4}{5}\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {\dfrac{{ - 3}}{5};1;\dfrac{4}{5}} \right)\).
Bán kính \(r\) của đường tròn \(\left( C \right)\) là \(r = \sqrt {A{M^2} - A{H^2}} = \dfrac{2}{{\sqrt 5 }}\).
Xét \(\left( \beta \right):2x - y + 2z = 0\)
\( \Rightarrow \cos \left( {\left( \alpha \right),\left( \beta \right)} \right) = \dfrac{2}{{3\sqrt 5 }} \Rightarrow \sin \left( {\left( \alpha \right),\left( \beta \right)} \right) = \dfrac{{\sqrt {41} }}{{3\sqrt 5 }}\)
Gọi \(K\) là giao điểm của \(MH,\,\,\left( \beta \right)\).
Ta có: \(d\left( {H,\left( \beta \right)} \right) = \dfrac{1}{5} \Rightarrow HK = \dfrac{3}{{\sqrt {205} }} \Rightarrow \max KM = \dfrac{3}{{\sqrt {205} }} + \dfrac{2}{{\sqrt 5 }}\)
Lại có: \(\max T = \max 3d\left( {M,\left( \beta \right)} \right) = 3.\left[ {d\left( {H,\left( \beta \right)} \right) + r} \right] = 3KM\sin \left( {\left( \alpha \right),\left( \beta \right)} \right) = \dfrac{{2\sqrt {41} + 3}}{5}\).
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
